Механика. Щербаченко Л.А. - 133 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИГУ | Иркутск

Составители: 

Рубрика: 

133
2
2
2
1
AAA += . Таким образом, уравнение гармонических колебаний (4) может
быть представлено в виде
(
)
ϕ
ω
+= tAx sin или
(
)
ϕ
ω
+= tBx cos (6)
График этой функции с обозначение входящих в (6) величин показан
на рис. 2. Величина А называется амплитудой,
ω
– частотой гармонического
колебания, а величина, стоящая в аргументе синуса (или косинуса),
(
ϕ
ω
+t –
фазой колебания. Значение фазы
ϕ
при 0
=
t называют начальной фазой
или просто фазой. Как видно из (6), значение х повторяется через
промежутки времени
ω
π
2
=T . Такая функция называется периодической, а
ω
π
2
=T – ее периодом. Поэтому гармонические колебания являются
периодическими. Однако, конечно, не всякая периодическая функция
является гармонической. Гармонической она будет лишь тогда, когда ее
можно представить в виде (6) с определенными частотой, фазой и
амплитудой.
Представление гармонических колебаний в комплексной форме.
При изучении гармонических колебаний приходится их складывать,
разлагать на составляющие, решать более сложные, чем (3), уравнения и т.
д. Все это значительно упрощается, если воспользоваться теорией
комплексных чисел и представлением гармонических колебаний в
комплексной форме.
В декартовой системе координат действительная часть комплексного
числа откладывается по оси абсцисс, а мнимая – по оси ординат (рис. 3).
Далее используем формулу Эйлера:
αα
α
sincos i
i
e += , где 1
2
−=i . (7)
которая дает возможность выразить любое комплексное число
iy
x
z
+
=
в экспоненциальной форме (рис. 3):
α
ρ
i
ez ⋅= ,
22
yx +=ρ ,
x
y
tg =α (8)
Величина
ρ
называется модулем комплексного числа,
α
–
аргументом.
Каждое комплексное число г может быть представлено на комплексной
плоскости в виде вектора, проведенного из начала координат в точку с коор-
динатами
(
)
yx, . Складываются комплексные числа по правилу параллело-
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
             A = A12 + A22 . Таким образом, уравнение гармонических колебаний (4) может
            быть представлено в виде




                      x = A sin (ωt + ϕ ) или x = B cos(ωt + ϕ )                      (6)
                 График этой функции с обозначение входящих в (6) величин показан
            на рис. 2. Величина А называется амплитудой, ω – частотой гармонического
            колебания, а величина, стоящая в аргументе синуса (или косинуса), (ωt + ϕ ) –
            фазой колебания. Значение фазы ϕ при t = 0 называют начальной фазой
            или просто фазой. Как видно из (6), значение х повторяется через
                                                 2π
            промежутки времени T =                  . Такая функция называется периодической, а
                                                 ω
                 2π
            T=           – ее периодом. Поэтому гармонические колебания являются
                 ω
            периодическими. Однако, конечно, не всякая периодическая функция
            является гармонической. Гармонической она будет лишь тогда, когда ее
            можно представить в виде (6) с определенными частотой, фазой и
            амплитудой.


                    Представление гармонических колебаний в комплексной форме.
                   При изучении гармонических колебаний приходится их складывать,
            разлагать на составляющие, решать более сложные, чем (3), уравнения и т.
            д. Все это значительно упрощается, если воспользоваться теорией
            комплексных чисел и представлением гармонических колебаний в
            комплексной форме.
                   В декартовой системе координат действительная часть комплексного
            числа откладывается по оси абсцисс, а мнимая – по оси ординат (рис. 3).
            Далее используем формулу Эйлера:
                    e iα = cos α + i sin α , где i 2 = −1 .                      (7)
                   которая дает возможность выразить любое комплексное число
            z = x + iy в экспоненциальной форме (рис. 3):
                                                             y
                      z = ρ ⋅ e iα , ρ = x 2 + y 2 , tgα =                                  (8)
                                                             x
                 Величина ρ называется модулем комплексного числа, α –
            аргументом.
                 Каждое комплексное число г может быть представлено на комплексной
            плоскости в виде вектора, проведенного из начала координат в точку с коор-
            динатами (x, y ) . Складываются комплексные числа по правилу параллело-
                                                                                            133

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Страницы