Механика. Щербаченко Л.А. - 135 стр.

            горизонтальную и вертикальную оси являются действительными физическими
            колебаниями, которые нас интересуют.


                    Сложение гармонических колебаний одинаковой частоты.
                 Пусть даны два гармонических колебания с одинаковой частотой, но с
            различными начальными фазами и амплитудами:
                   x1 = A1 cos(ωt + ϕ1 )
                                                                                                  (11)
                   x 2 = A2 cos(ωt + ϕ 2 )
                  Требуется найти суммарное колебание x = x1 + x 2 . Гармонические
            колебания (11), будучи представленными в виде (10), составляют ее
            действительную часть. Поэтому искомый результат сложения колебаний (11)
            является действительной частью комплексного числа:
                  ~
                  x=~        x 2 = A1 e i (ωt +ϕ ) + A2 e i (ωt +ϕ ) = e iωt (A1 e iϕ + A2 e iϕ )
                        x1 + ~               1       2         1        2
                                                                                                    (12)
                  Сложение двух величин в скобках легко производится в векторной
            форме (рис. 5). На рис. 5 непосредственно видно, что
                  A1 e iϕ + A2 e iϕ = Ae iϕ
                        1           2
                                                                                                    (13)
                  A = A1 + A2 + 2 A1 A2 cos(ϕ 2 − ϕ1 )
                    2      2     2
                                                                                                  (13а)
                            A1 sin ϕ1 + A2 sin ϕ 2
                   tgϕ =                                                                        (13б)
                            A1 cos ϕ1 + A2 cos ϕ 2
                  Следовательно, вместо (12) получим:
                  ~
                  x=~     x2 = Aei (ωt +ϕ ) ,
                     x1 + ~                                                  (14)
                  где A и ϕ определяются формулами (13а) и (136). Отсюда следует,
            что сумма гармонических колебаний (11) дается формулой:
                   x = x1 + x 2 = A cos(ωt + ϕ )
                   где величины A и ϕ имеют то же значение, что и в (14).
                  Свойства суммы гармонических колебаний можно выяснить непосред-
            ственно по рис. 5. Ясно, что вся картина, изображенная на рисунке,
            благодаря наличию общего множителя e iωt в (12) вращается вокруг начала
            координат против часовой стрелки с угловой скоростью ω . Амплитуда
            колебания достигает максимального значения при ϕ 2 = ϕ1 , и равна A1 + A2 .
            Минимальное значение амплитуды получается при ϕ 2 − ϕ 1 = ±π . В этом случае
            комплексные векторы, представляющие слагаемые колебания, направлены
            противоположно и поэтому минимальная амплитуда равна A2 − A1 . Поведение
            фазы ϕ также наглядно прослеживается на векторной диаграмме рис. 5.
            Таким образом, суммой гармонических колебаний с одинаковой частотой
            является гармоническое колебание с той же частотой, амплитудой и фазой,
            определяемыми формулами (13а) и (136).


                Сложение гармонических колебаний с близкими частотами. Биения.
                 Обозначим частоты слагаемых колебаний через ω1 и ω 2 и будем
            считать, что ω1 ≈ ω 2 , ω1 − ω 2 << ω1 ≈ ω 2 . Уравнения колебаний имеют вид:
                                                                                                    135

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com