Механика. Щербаченко Л.А. - 136 стр.

                    x1 = A1 cos(ω1t + ϕ1 )
                                                                                            (15)
                    x 2 = A2 cos(ω 2 t + ϕ 2 )
                   Каждое из колебаний (15) представляем в комплексной форме (10), а
            сложение будем проводить по правилу сложения векторов, откладывая
            начало второго вектора от конца первого.
                   Пусть для определенности A1 > A2 . Тогда сумма векторов ~x1 и ~x 2 в
            некоторый момент времени может быть представлена так, как изображено на
            рис. 6. С течением времени эта картина будет изменяться следующим образом:
            вектор ~x1 вращается вокруг начала координат с угловой частотой ω1 , а вектор
            ~
            x 2 – относительно положения вектора ~   x1 вокруг его конца с частотой ω 2 − ω1 .
            Если ω 2 > ω1 , то его вращение вокруг конца вектора ~x1 будет происходить в том
            же направлении, что и вращение вектора ~x1 вокруг начала координат, как это
            изображено на рис. 6.

                                                 Рис. 6                                  Рис. 7




                                                                  Биения при сложении
              Сложение гармонических
              колебаний с почти равными                           колебаний с близкими
              частотами в комплексном                             частотами
              виде


                  При ω 2 < ω1 относительное вращение ~x 2 изменяется на обратное.
                  Изменение этой картины со временем состоит в следующем: поскольку
            ω1 − ω 2 << ω1 ≈ ω 2 ≈ ω , то вся картина быстро вращается вокруг начала коор-
            динат, причем за один оборот взаимное расположение векторов ~x1 и ~x 2 ме-
            няется совершенно незначительно. Поэтому в течение большого числа перио-
            дов это есть гармоническое колебание с частотой со и амплитудой, равной
            амплитуде ~x1 + ~x 2 . Однако, хотя и медленно, относительная ориентировка
            векторов ~x1 и ~x 2 меняется. Поэтому амплитуда колебания медленно меняется
            с частотой ω 2 − ω1 от A1 + A2 до A1 − A2 . В итоге получаем, что суммой двух
            гармонических колебаний с близкими частотами является колебание с из-
            меняющейся амплитудой. Оно лишь приблизительно гармоническое с часто-
            той ω1 ≈ ω 2 ≈ ω , а его амплитуда изменяется с частотой ω 2 − ω1 от максималь-
            ного значения A1 + A2 до минимального A1 − A2 . Вещественные составляю-
            щие этого колебания имеют вид, изображенный на рис. 7. Колебания
            амплитуды с частотой Ω = ω 2 − ω1 называются биениями, а частота Ω –
            частотой биений. Биения возникают при сложении двух гармонических ко-
            лебаний с близкими частотами. Если амплитуды слагаемых колебаний при-

                                                                                              136

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com