Механика. Щербаченко Л.А. - 138 стр.

            рассматривать как потенциальную, если она зависит только от координат.
            Последняя оговорка весьма существенна. Например, сила трения не является
            потенциальной силой также и в одномерном случае. Это обусловлено тем,
            что эта сила (ее направление) зависит от скорости (направления
            скорости). В случае линейного осциллятора удобно считать, что
            потенциальная энергия точки равна нулю в положении равновесия (в начале
            координат). Тогда, учитывая, что F = − Dx , и принимая во внимание
            формулу, связывающую потенциальную энергию E п и силу, сразу находим
            для потенциальной энергии линейного осциллятора следующее выражение:
                        Dx 2 mω 2 x 2
                   Eп =     =         ,                                                            (19)
                         2     2
                   а закон сохранения имеет вид
                   mx& 2 mω 2 x 2
                        +         = const                                                          (20)
                    2      2
                 Конечно, этот закон можно получить непосредственно из уравнения
            движения (3).
                 Из закона сохранения энергии (20) можно сделать два важных
            заключения.
                  1. Максимальная кинетическая энергия осциллятора равна его макси-
            мальной потенциальной энергии. Это очевидно, поскольку максимальную
            потенциальную энергию осциллятор имеет при смещении колеблющейся
            точки в крайнее положение, когда ее скорость (а следовательно, и кинети-
            ческая энергия) равна нулю. Максимальной кинетической энергией осцил-
            лятор обладает в момент прохода точки равновесного положения (x = 0) ,
            когда потенциальная энергия равна нулю. Поэтому, обозначая максималь-
            ную скорость через V, можем написать
                    1       1
                      mV 2 = mω 2 A 2                                                               (21)
                    2       2
                 2. Средняя кинетическая энергия осциллятора равна его средней
            потенциальной энергии.
                 Прежде всего, надо определить, что такое средняя величина. Если
            некоторая рассматриваемая величина f зависит от времени, т. е. является
            функцией времени, то среднее значение этой величины в промежутке
            времени между моментами t1 и t 2 дается формулой
                                         t2

                                         ∫ f (t )dt
                                  1
                    f       =                                                                      (22)
                        t
                              t 2 − t1   t1



                                                           Если представить на графике (рис. 8), то
                                                      среднее значение       f t  соответствует высоте
                                                      прямоугольника, площадь которого равна площади
                              Рис. 8                  между кривой f(t) и осью t на интервале между t1 и
            t2 .                                      Напомним, что площадь под осью t считается
            отрицательной.

                                                                                                     138

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com