Механика. Щербаченко Л.А. - 140 стр.

                                       Изобразим их графики на одном и том же
                                 чертеже (рис. 9). По оси ординат откладываются
                                 величины различных размерностей. Поэтому выбором
                                 масштаба амплитуды соответствующих колебаний
                                 всегда можно сделать равными, как это и изображено
                                 на рис. 9. Отклонение, скорость и ускорение
                                 представляются совершенно одинаковыми кривыми, но
                    Рис. 9       сдвинутыми друг относительно друга в направлении
            оси ωt . Непосредственно видно, что кривая скорости вмещена относительно
                                                                 π
            кривой отклонения на величину ∆(ωt ) =                   влево, а кривая ускорения
                                                                 2
            точно на такую же величину сдвинута относительно кривой скорости.
                 Следовательно, в гармоническом колебании скорость опережает по
                     π                                              π
            фазе на     смещение, а ускорение опережает по фазе на     скорость. Таким
                     2                                              2
            образом, ускорение опережает смещение по фазе на π . Конечно, можно
                                                                           π
            сказать, например, что смещение отстаёт от скорости по фазе на и т. д.
                                                                           2


                                     Нелинейные колебания.
                   Если разложении (1) для силы наряду с линейным членом xf ′(0)
                                                                           f ′′(0) 2
            существен также и следующий член, например                            x , то вместо (2)
                                                                             2!
            необходимо рассмотреть следующее уравнение движения:
                       d 2x              x2
                   m        = xf ′(0 ) +    f ′′(0)                                           (30)
                       dt 2              2
                     При обсуждении разложения силы в ряд (1) было отмечено, что если
            система колеблется около устойчивого равновесия x = 0 , то при f ′(0) = 0 обя-
            зательно должно быть, чтобы и f ′′(0) = 0 . В противном случае точка
            x = 0 не может быть точкой устойчивого равновесия. Очевидно, если
             f ′(0) ≠ 0 , то должно быть f ′(0 ) < 0 и, кроме того, производная f ′′(0 ) не
            обязана быть равной нулю и может иметь любой знак. Именно этот случай и
            рассматривается в (30). Кроме того, предполагается, что величина f ′′(0)
            очень малая и поэтому последний член справа в (30) является малым в
            сравнении с другими членами. Разделим уравнение (30) на т и перепишем
            его следующим образом:
                      &x& + ω o2 x = εω o2 x 2                                      (31а)
                     где аналогично (3) приняты обозначения
                        f ′(0 )      f ′′(0)     f ′′(0 )
                   ω o2 = −     ,ε=          =−                              (31б)
                          m         2mω o  2
                                                2 f ′(0)
                   Величина ε является параметром малости члена, пропорционального
            квадрату смещения. Как это непосредственно видно в (31а), она имеет раз-
            мерность, обратную длине, и поэтому может быть представлена в виде

                                                                                               140

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com