Механика. Щербаченко Л.А. - 142 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИГУ | Иркутск

Составители: 

Рубрика: 

142
частях его должны быть равны друг другу. Из этого условия
получаем:
( )
2
2
22
1
2
4
o
o
oo
Ab
εω
ωω −=+− (38)
6
2
1
o
A
b
ε
= (39)
При этом значении
1
b
члены, зависящие от времени, в (37)
сокращаются. Оставшиеся члены дадут уравнение, из которого
найдем, что
2
2
1
o
A
a
ε
= (40)
Следовательно, решение (33) с учетом первой поправки может
быть записано в виде
t
AA
tAx
o
oo
oo
ω
εε
ω 2cos
6
2
sin
22
++= (41)
Наиболее существенной особенностью этого решения является
присутствие
члена с t
o
ω
2cos . Он показывает, что вследствие наличия в силе
нелинейного члена, пропорционального х
2
, в колебаниях появился член с
удвоенной частотой
o
ω
2 , называемый второй гармоникой. При отсутствии
нелинейного члена в колебаниях имеется лишь член с основной частотой
o
. Если продолжить решение уравнения (31) и найти следующие более
малые поправки, то можно убедиться, что они содержат более высокие
частоты
o
n
ω
, кратные основной, иначе говоря, содержат высшие гармоники.
Поэтому можно сказать, что наиболее характерным следствием наличия
нелинейности в силе является возникновение высших гармоник в
колебаниях.
Далее из (41) видно, что оба составляющих колебания с частотами
o
и
o
ω
2 происходят не около точки 0
=
x , а около точки
2
2
o
A
x
ε
= , т. е. наличие
нелинейного члена, пропорционального
2
x сдвигает точку равновесия, около
которой происходят колебания. Этот результат вполне понятен, если учесть,
что сила, пропорциональная
2
x , направлена все время в одну и ту же
сторону и, следовательно, неизбежно должна сдвинуть точку, около которой
совершаются колебания.
Тем же путем можно рассмотреть случай, когда в разложении (1) для
силы отсутствует член с х
2
(т. е. когда
(
)
00 =
′
′
f ) и необходимо учесть член,
пропорциональный х
3
. В этом случае вместо (30) имеем следующее
уравнение:
( ) ( )
0
!3
0
3
2
2
f
x
fx
dt
xd
m
′′′
+
′
= (42)
которое может быть представлено в аналогичном (31) виде:
322
xxx
oo
ηωω =+
&&
, (43а)
где
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
            частях его должны быть равны друг другу. Из этого условия
            получаем:
                                              εω o2 2
                       (
                   b1 − 4ω + ω2
                              o
                                   2
                                   o   )   =−
                                               2
                                                   Ao                                             (38)
                           εAo2
                   b1 =                                                                           (39)
                            6
                 При этом значении b1 члены, зависящие от времени, в (37)
            сокращаются. Оставшиеся члены дадут уравнение, из которого
            найдем, что
                        εAo2
                   a1 =                                                                           (40)
                         2
                 Следовательно, решение (33) с учетом первой поправки может
            быть записано в виде
                                           εAo2 εAo2
                   x = Ao sin ω o t +          +     cos 2ω o t                                   (41)
                                            2    6
                   Наиболее существенной особенностью этого решения является
            присутствие члена с cos 2ω o t . Он показывает, что вследствие наличия в силе
            нелинейного члена, пропорционального х2, в колебаниях появился член с
            удвоенной частотой 2ω o , называемый второй гармоникой. При отсутствии
            нелинейного члена в колебаниях имеется лишь член с основной частотой
            ω o . Если продолжить решение уравнения (31) и найти следующие более
            малые поправки, то можно убедиться, что они содержат более высокие
            частоты nω o , кратные основной, иначе говоря, содержат высшие гармоники.
            Поэтому можно сказать, что наиболее характерным следствием наличия
            нелинейности в силе является возникновение высших гармоник в
            колебаниях.
                   Далее из (41) видно, что оба составляющих колебания с частотами ω o
                                                                                   εAo2
            и 2ω o происходят не около точки x = 0 , а около точки x =                  , т. е. наличие
                                                                                    2
            нелинейного члена, пропорционального x 2 сдвигает точку равновесия, около
            которой происходят колебания. Этот результат вполне понятен, если учесть,
            что сила, пропорциональная x 2 , направлена все время в одну и ту же
            сторону и, следовательно, неизбежно должна сдвинуть точку, около которой
            совершаются колебания.
                 Тем же путем можно рассмотреть случай, когда в разложении (1) для
            силы отсутствует член с х2 (т. е. когда f ′′(0) = 0 ) и необходимо учесть член,
            пропорциональный х3. В этом случае вместо (30) имеем следующее
            уравнение:
                       d2x               x3
                   m        = xf ′(0 ) +    f ′′′(0)                                              (42)
                       dt 2              3!
                   которое может быть представлено в аналогичном (31) виде:
                   &x& + ω o2 x = ηω o2 x 3 ,                                                   (43а)
                   где

                                                                                                   142

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Страницы