Механика. Щербаченко Л.А. - 143 стр.

                              f ′(0 )      f ′′′(0)     f ′′′(0)
                   ω o2 = −           ,η=           =−                                      (43б)
                                m         6mω o   2
                                                       6 f ′(0)

                 Параметром малости является величина η . При η → 0 решение (43а)
            должно стремиться к гармоническому колебанию с частотой ω o . Решение этого
            уравнения методом теории возмущений производится абсолютно так же,
            как это было сделано выше. Наряду с основной частотой ω o в первом при-
            ближении появится высшая гармоника, но не с удвоенной частотой, а с
            утроенной. Это является следствием тригонометрической формулы
                   sin 3 ω o t =
                                   1
                                     (3 sin o t − sin 3ω o t )                                (44)
                                   4
                   Сила, пропорциональная x 3 при равных по модулю положительных и
            отрицательных значениях х имеет одну и ту же абсолютную величину, но
            противоположное направление. Это означает, что эта сила является либо
            силой притяжения к точке x = 0 , либо силой отталкивания от нее,
            действующей совершенно симметрично относительно этой точки. Поэтому
            никакого сдвига точки, около которой совершаются колебания, не
            происходит, как это было в предыдущем случае. Колебания с частотами
            ω o и 3ω o совершаются около точки x = 0 .


                            Общее условие гармоничности колебаний.
                 В большинстве случаев малые отклонения от положения равновесия
            приводят к гармоническим колебаниям. Но это не значит, что гармоническими
            колебаниями могут быть только малые колебания. Колебание, описываемое
            уравнением вида (3), является гармоническим независимо от малости х.
            Уравнение (3) получается из закона сохранения энергии (20) после диф-
            ференцирования по времени с учетом того, что
                                                                        ( )
                                                                       d x2
                                                                            = 2 xx& . Поэтому можно
                                                                        dt
            сказать, что если полная сохраняющаяся энергия системы выражается в
            виде квадратичной функции от некоторой переменной и ее производной по
            времени, то собственными колебаниями этой системы являются гармонические
            колебания.
                  В качестве примера рассмотрим замкнутый контур с емкостью и индук-
            тивностью. Если заряд на емкости обозначить Q, то ток в цепи будет Q.
            Энергия электрического и магнитного полей пропорциональна квадратам их
            напряженности, а последние пропорциональны зарядам Q и токам Q. Сле-
            довательно, полная энергия системы равна
                  E = αQ& 2 + β Q 2                                             (45)
                  где α и β – постоянные, определяемые конфигурацией контура (его
            емкостями и индуктивностями). Принимая во внимание, что E = const ,
            получаем уравнение для Q:
                  αQ&& 2 + β Q = 0                                              (46)


                                                                                               143

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com