Механика. Щербаченко Л.А. - 144 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИГУ | Иркутск

Составители: 

Рубрика: 

144
Таким образом, собственные колебания тока в контуре являются
гармоническими с частотой
α
β
ω =
, причем их гармоничность не связана с
их малостью, а обусловлена тем, что полная энергия в контуре является
квадратичной функцией зарядов и токов.
Вычисление периода колебаний.
В одномерном случае любая сила, зависящая только от координат,
является потенциальной и закон сохранения энергии имеет вид
( )
ExE
xm
п
=+
2
2
&
(47)
Считая, что пропорциональная энергия
(
)
xE
п
минимальна в начале
координат и возрастает в обе стороны от минимума, заключаем, что
область движения определяется условием остановки частицы
(
)
0=x
&
, т. е.
соответствующие координаты
1
x и
2
x являются решениями уравнения
(
)
ExE
п
= . Время, затрачиваемое частицей для движения от одной точки
поворота
1
x до другой
2
x , составляет половину периода ее колебаний.
Поэтому для периода колебаний Т из (47) с учетом того, что
dt
dx
x =
&
,
получаем формулу:
( )( )
∫
−
=
2
1
2
2
x
x
п
xEE
m
dx
T (48)
Она всегда позволяет найти период колебаний. Однако при
использовании численных методов на ЭВМ следует иметь в виду, что на
границах области интегрирования подынтегральное выражение обращается
в бесконечность и надо соблюдать осторожность в выборе точек разбиения
интервала интегрирования.
Если потенциальная энергия имеет вид (19), то
D
m
x
x
D
m
xx
dx
D
m
T
o
o
o
o
x
x
o
x
x
o
π2arccos22
22
=
=
−
=
−
−
∫
(49)
что совпадает с периодом гармонических колебаний, имеющих
частоту
m
D
o
=ω , как этого и следовало ожидать. Видно, что период
колебаний не зависит от энергии частицы. Это обусловлено тем, что
потенциальная энергия растет с расстоянием как х
2
. При других видах
потенциальной энергии период колебаний зависит от энергии.
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
                   Таким образом, собственные колебания тока в контуре являются
                                                          β
            гармоническими с частотой ω =                   , причем их гармоничность не связана с
                                                          α
            их малостью, а обусловлена тем, что полная энергия в контуре является
            квадратичной функцией зарядов и токов.


                                Вычисление периода колебаний.
                 В одномерном случае любая сила, зависящая только от координат,
            является потенциальной и закон сохранения энергии имеет вид
                   mx& 2
                         + E п (x ) = E                                                      (47)
                    2
                       Считая, что пропорциональная энергия E п (x ) минимальна в начале
            координат и возрастает в обе стороны от минимума, заключаем, что
            область движения определяется условием остановки частицы (x& = 0) , т. е.
            соответствующие координаты x1 и x 2 являются решениями уравнения
            E п ( x ) = E . Время, затрачиваемое частицей для движения от одной точки
            поворота x1 до другой x 2 , составляет половину периода ее колебаний.
                                                                                               dx
            Поэтому для периода колебаний Т из (47) с учетом того, что x& =                       ,
                                                                                               dt
            получаем формулу:
                         x2
                                   dx
                   T = 2∫                                                                    (48)
                         x1   2
                                (E − E п (x ))
                              m
                 Она всегда позволяет найти период колебаний. Однако при
            использовании численных методов на ЭВМ следует иметь в виду, что на
            границах области интегрирования подынтегральное выражение обращается
            в бесконечность и надо соблюдать осторожность в выборе точек разбиения
            интервала интегрирования.
                 Если потенциальная энергия имеет вид (19), то
                                                                   xo
                                                  m              
                               x
                        m o           dx                     x                 m
                        D −∫xo
                   T =2                        =2   arccos            = 2π               (49)
                                    x o2 − x 2    D         xo     − xo      D
                   что совпадает с периодом гармонических колебаний, имеющих
                                   D
            частоту ω o =            , как этого и следовало ожидать. Видно, что период
                                   m
            колебаний не зависит от энергии частицы. Это обусловлено тем, что
            потенциальная энергия растет с расстоянием как х2. При других видах
            потенциальной энергии период колебаний зависит от энергии.




                                                                                               144

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Страницы