Механика. Щербаченко Л.А. - 145 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИГУ | Иркутск

Составители: 

Рубрика: 

145
Пусть потенциальная энергия равна
( )
2
n
п
x
xE
α
= . Границы области дви-
жения даются уравнением
2
n
o
x
E
α
= , и для периода колебаний вместо (49)
получаем
∫∫
−
=
−
=
−
−
1
0
2
1
1
42
n
n
o
x
x
n
n
o
d
x
a
m
xx
dx
a
m
T
o
o
ξ
ξ
(50)
Поскольку
2
n
o
x
E
α
= , отсюда следует, что:
2
11
~
−
n
E
T
(51)
т. е. в заданном поле период колебаний, вообще говоря, различен
для частиц различных энергий. Он не зависит от энергии лишь для 2
=
n , т.
е. для квадратичной зависимости потенциальной энергии от расстояния, когда
колебания являются гармоническими. Колебания, период которых не зависит
от энергии, называются изохронными. Как показано, изохронные колебания
возникают, в частности, при квадратичной зависимости потенциальной
энергии от расстояния. Изохронные колебания возможны и при других
формах кривых потенциальной энергии. Они могут быть построены по
кривой с квадратичной зависимостью путем ее деформации вдоль оси X
таким образом, чтобы расстояние между точками кривой, соответствующими
каждой из энергий, не изменялись. Единственным ограничением на эту
деформацию является требование сохранения однозначности
(
)
xE
п
, т. е.
прямая линия, перпендикулярная оси X, должна пересекать кривую
(
)
xE
п
только в одной точке.
Затухающие и вынужденные колебания.
Затухающие колебания.
Трение.
Собственные колебания линейного осциллятора происходят в отсут-
ствие внешних сил. Энергия его колебаний сохраняется, а следовательно, и
амплитуда колебаний не изменяется. Собственные колебания являются неза-
тухающими.
При наличии трения, являющегося внешней силой, энергия колебаний
линейного осциллятора уменьшается, а, следовательно, уменьшается и амп-
литуда колебаний. Колебания при наличии трения становятся затухаю-
щими. Нетрудно видеть, что и частота колебаний должна изменяться. Сила
трения действует против скорости. Следовательно, для линейного осциллято-
ра ее действие эквивалентно уменьшению возвращающейся силы, т. е. упру-
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
                                                                         αx
                                                                               n

                   Пусть потенциальная энергия равна E п (x ) =                    . Границы области дви-
                                                                           2
                                        αx on
            жения даются уравнением E =       , и для периода колебаний вместо (49)
                                         2
            получаем
                                                                 dξ
                                 x                         n 1
                            m o          dx            m 1− 2
                            a −∫xo
                   T =2                           =4     xo ∫                                       (50)
                                     x − x
                                     n
                                     o
                                              n        a      0 1−ξ n
                                          αx on
                   Поскольку E =                , отсюда следует, что:
                                           2
                          1 1
                           −
                   T ~ En    2
                                                                                  (51)
                  т. е. в заданном поле период колебаний, вообще говоря, различен
            для частиц различных энергий. Он не зависит от энергии лишь для n = 2 , т.
            е. для квадратичной зависимости потенциальной энергии от расстояния, когда
            колебания являются гармоническими. Колебания, период которых не зависит
            от энергии, называются изохронными. Как показано, изохронные колебания
            возникают, в частности, при квадратичной зависимости потенциальной
            энергии от расстояния. Изохронные колебания возможны и при других
            формах кривых потенциальной энергии. Они могут быть построены по
            кривой с квадратичной зависимостью путем ее деформации вдоль оси X
            таким образом, чтобы расстояние между точками кривой, соответствующими
            каждой из энергий, не изменялись. Единственным ограничением на эту
            деформацию является требование сохранения однозначности E п (x ) , т. е.
            прямая линия, перпендикулярная оси X, должна пересекать кривую E п (x )
            только в одной точке.


                                     Затухающие и вынужденные колебания.

                                                   Затухающие колебания.

                                              Трение.
                  Собственные колебания линейного осциллятора происходят в отсут-
            ствие внешних сил. Энергия его колебаний сохраняется, а следовательно, и
            амплитуда колебаний не изменяется. Собственные колебания являются неза-
            тухающими.
                  При наличии трения, являющегося внешней силой, энергия колебаний
            линейного осциллятора уменьшается, а, следовательно, уменьшается и амп-
            литуда колебаний. Колебания при наличии трения становятся затухаю-
            щими. Нетрудно видеть, что и частота колебаний должна изменяться. Сила
            трения действует против скорости. Следовательно, для линейного осциллято-
            ра ее действие эквивалентно уменьшению возвращающейся силы, т. е. упру-



                                                                                                      145

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Страницы