Механика. Щербаченко Л.А. - 147 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИГУ | Иркутск

Составители: 

Рубрика: 

147
При не очень больших коэффициентах трения
2
2
o
m
ω
β
γ <= (9)
В этом случае
22
γω −
o
и, следовательно,
Ω
является вещественной вели-
чиной. Поэтому
ti
e
Ω
– гармоническая функция. Вещественная часть
колебания, описываемого равенством (8а), представляется формулой
t
t
e
o
Ax Ω
−
= cos
γ
(10)
Это есть колебание, амплитуда которого уменьшается, а частота
Ω
постоянна. График этого колебания изображен на рис.
1.
Это колебание не является периодическим и тем
более оно не является гармоническим. Период
гармонических (периодических) колебаний определя-
ется как время, через которое колебание повторяется.
В случае (10) колебания не повторяются, поэтому
понятие периода теряет смысл. Тем не менее, удобно
говорить о периоде этих колебаний, понимая под
периодом промежутки времени, через которые смеще-
ние обращается в нуль. В этом же смысле можно использовать представ-
ление о частоте колебаний
π
2
=Ω . За амплитуду колебаний принимается
величина
t
o
eAA
γ−
= , даваемая формулой (10), которая равна примерно
модулю максимальных отклонений при последовательных колебаниях.
Из формулы (10) видно, что амплитуда колебаний уменьшается в
7,2
=
e раза в течение времени
γ
τ
1
= (11)
Промежуток времени
τ
называется временем затухания колебаний, а
γ
– декрементом затухания.
Логарифмический декремент затухания.
Сам по себе декремент затухания
γ
не очень много говорит об ин-
тенсивности затухания колебаний. Например, в течение времени t
∆
амплиту-
да уменьшается в
t
e
∆γ
раз. Но в зависимости от периода колебаний за это
время происходит различное число колебаний. Если колебаний произошло
много, то за каждое колебание имело место небольшое изменение амплиту-
ды. Если же колебаний произошло немного, то за каждое колебание амп-
литуда изменялась значительно. Ясно, что в первом случае в определенном
смысле колебания затухают медленнее, чем во втором.
Поэтому величину затухания необходимо отнести к естественному
масштабу времени колебания, т. е. к периоду колебаний. Интенсивность
затухания характеризуется затуханием их амплитуды за один период
Рис. 1
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
                   При не очень больших коэффициентах трения
                          β
                   γ =      < ω o2                                                      (9)
                         2m
                   В этом случае ω o2 − γ 2 и, следовательно, Ω является вещественной вели-

            чиной. Поэтому e
                                     iΩt   – гармоническая функция. Вещественная часть
            колебания, описываемого равенством (8а), представляется формулой
                  x = Ao e − γt cos Ωt                                                (10)
                 Это есть колебание, амплитуда которого уменьшается, а частота Ω
                                       постоянна. График этого колебания изображен на рис.
                                       1.
                                             Это колебание не является периодическим и тем
                                       более оно не является гармоническим. Период
                                       гармонических (периодических) колебаний определя-
                                       ется как время, через которое колебание повторяется.
                                       В случае (10) колебания не повторяются, поэтому
                                       понятие периода теряет смысл. Тем не менее, удобно
                       Рис. 1          говорить о периоде этих колебаний, понимая под
                                       периодом промежутки времени, через которые смеще-
            ние обращается в нуль. В этом же смысле можно использовать представ-
                                                   2π
            ление о частоте колебаний Ω =             . За амплитуду колебаний принимается
                                                   T
            величина A = Ao e −γt , даваемая формулой (10), которая равна примерно
            модулю максимальных отклонений при последовательных колебаниях.
                   Из формулы (10) видно, что амплитуда колебаний уменьшается в
            e = 2,7 раза в течение времени
                         1
                   τ=                                                                 (11)
                         γ
                 Промежуток времени τ называется временем затухания колебаний, а
            γ – декрементом затухания.


                              Логарифмический декремент затухания.
                  Сам по себе декремент затухания γ не очень много говорит об ин-
            тенсивности затухания колебаний. Например, в течение времени ∆t амплиту-
            да уменьшается в eγ∆t раз. Но в зависимости от периода колебаний за это
            время происходит различное число колебаний. Если колебаний произошло
            много, то за каждое колебание имело место небольшое изменение амплиту-
            ды. Если же колебаний произошло немного, то за каждое колебание амп-
            литуда изменялась значительно. Ясно, что в первом случае в определенном
            смысле колебания затухают медленнее, чем во втором.
                  Поэтому величину затухания необходимо отнести к естественному
            масштабу времени колебания, т. е. к периоду колебаний. Интенсивность
            затухания характеризуется затуханием их амплитуды за один период

                                                                                       147

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Страницы