Механика. Щербаченко Л.А. - 148 стр.

            колебания и поэтому вместо декремента затухания γ удобно пользоваться
            так называемым логарифмическим декрементом затухания.
                  Найдем амплитуды колебаний в два последовательных промежутка
            времени, разделенных периодом колебания Т:
                  A1 = Ao e− γ ⋅t , A1 = Ao e − γ ⋅ (t + T )
                                 1            1                              (12)
                  Отсюда следует
                    A1
                       = e γT                                                      (13)
                    A2
                  Поэтому изменение амплитуды колебаний за период характеризуется
            величиной θ = γT , называемой логарифмическим декрементом затухания. Из
            (13) находим
                            A1
                   θ = ln                                                          (14)
                            A2
                   Логарифмическому декременту затухания можно дать и другую интер-
            претацию. Рассмотрим уменьшение амплитуды колебаний в течение N перио-
            дов, т. е. за время NT. Вместо формул (12) можно написать
                   A1 = Ao e − γt , AN +1 = Ao e −γ (t + NT )
                                 1                1
                                                                               (15)
                   Поэтому отношение амплитуд, разделенных интервалом времени в N
            периодов, равно:
                    AN +1
                          = e −γNT = e − Nθ                                        (16)
                     A1
                  При Nθ = 1 амплитуда уменьшается в e раз. Поэтому можно сказать,
            что логарифмическим декрементом затухания
                        1
                   θ=                                                              (17)
                        N
                 называется величина, обратная числу периодов, в течение
            которых амплитуда затухает в e раз.
                 Такая интерпретация дает очень наглядное представление об
            интенсивность затухания:
                 амплитуда затухает в e раз в течение числа колебаний, равного
            обратной величине логарифмического декремента затуханий. Если,
            например, θ = 0.01 , то колебания затухают лишь примерно после 100
            колебаний. В течение 10 колебаний амплитуда изменяется очень мало,
                                  1
            примерно на             своего первоначального значения. Благодаря этому
                                 10
            при рассмотрении процессов, происходящих лишь в течение
            небольшого числа периодов, в первом приближении можно считать
            колебания незатухающими.
                 По-другому обстоит дело при большем логарифмическом
            декременте затухания. Если θ = 0.1 , то уже после 10 колебаний они
            полностью затухнут. За несколько колебаний затухание уже
            значительно. Поэтому при рассмотрении процессов, происходящих
            даже в течение нескольких периодов, нельзя в качестве приближения
            считать колебания незатухающими.
                                                                                    148

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com