Механика. Щербаченко Л.А. - 146 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИГУ | Иркутск

Составители: 

Рубрика: 

146
гости пружины (уменьшение величины D). Поскольку
m
D
=
2
ω , это означает,
что частота колебаний должна уменьшаться, а период – увеличиваться.
При увеличении трения период колебания может увеличиться до сколь
угодно большого значения. При достаточно большом трении вообще ника-
кого колебания происходить не будет, потому что вся энергия осциллятора
расходуется на преодоление сил трения на очень коротком пути,
составляющем лишь часть колебания.
Уравнение движения.
Рассмотрим силу жидкого трения. В правую часть уравнения
движения надо добавить силу жидкого трения, и оно приобретает
следующий вид:
xDxxm
&&&
β
−
−
=
, (1)
где
β
– коэффициент трения. Это уравнение удобно переписать
таким образом:
02
2
=++ xxx
o
ωγ
&&&
, (2)
где
m
2
γ =
,
m
D
o
=
2
ω
.
Частота и декремент затухания.
Решение уравнения (2) удобно искать в виде
ti
o
eAx
α
=
~
(3)
Учитывая, что
(
)
titi
eie
dt
d
αα
α=
,
( )
titi
ee
dt
d
αα
α
2
2
2
−=
, (4)
и подставляя (3) и
(2), находим
(
)
02
22
=++−
o
ti
o
ieA ωγαα
α
(5)
Сомножитель
ti
e
α
не равен нулю. Следовательно, равным нулю
должен быть другой сомножитель:
02
22
=++−
o
i ωγαα (6)
Это квадратичное уравнение относительно
α
. Его решения
выражаются известной формулой:
22
22
γω
γγωγα
−=Ω
Ω±=−±=
o
o
ii
(7)
Подставляя эти значения для
α
в (3), находим искомое решение:
tit
o
eeAx
Ω−
⋅=
γ
~
(8а)
tit
o
eeAx
Ω−−
⋅=
′
γ
~
(8б)
Наличие двух решений отражает тот факт, что уравнение (2)
является
уравнением второго порядка и, следовательно, должно иметь два
независимых решения, которые получаются при различных знаках
Ω
.
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
                                                                                   D
            гости пружины (уменьшение величины D). Поскольку ω 2 =                   , это означает,
                                                                                   m
            что частота колебаний должна уменьшаться, а период – увеличиваться.
                  При увеличении трения период колебания может увеличиться до сколь
            угодно большого значения. При достаточно большом трении вообще ника-
            кого колебания происходить не будет, потому что вся энергия осциллятора
            расходуется на преодоление сил трения на очень коротком пути,
            составляющем лишь часть колебания.


                                           Уравнение движения.
                 Рассмотрим силу жидкого трения. В правую часть уравнения
            движения надо добавить силу жидкого трения, и оно приобретает
            следующий вид:
                 m&x& = − Dx − βx& ,                                    (1)
                 где β – коэффициент трения. Это уравнение удобно переписать
            таким образом:
                 &x& + 2γ&x + ω o2 x = 0 ,                              (2)
                               β         D
                   где γ =       , ω o2 = .
                              2m         m


                                Частота и декремент затухания.
                   Решение уравнения (2) удобно искать в виде
                   ~
                   x = Ao e iαt                                                                (3)
                   Учитывая, что

                   dt
                      ( )
                   d iαt          d 2 iαt
                                          ( )
                      e = iαe , 2 e = −α 2 e iαt ,
                             i αt

                                  dt
                                                                                                (4)
                   и подставляя (3) и (2), находим
                          (                     )
                   Ao e iαt − α 2 + 2iγα + ω o2 = 0                  (5)
                Сомножитель e не равен нулю. Следовательно, равным нулю
                                          iαt


            должен быть другой сомножитель:
                 − α 2 + 2iγα + ω o2 = 0                             (6)
                Это квадратичное уравнение относительно α . Его решения
            выражаются известной формулой:
                   α = iγ ± ω o2 − γ 2 = iγ ± Ω
                                                                                                (7)
                   Ω = ω o2 − γ 2
                 Подставляя эти значения для α в (3), находим искомое решение:
                  ~
                  x = Ao e−γt ⋅ eiΩt                                          (8а)
                  ~
                  x ′ = Ao e −γt ⋅ e − iΩt                                    (8б)
                 Наличие двух решений отражает тот факт, что уравнение (2)
            является уравнением второго порядка и, следовательно, должно иметь два
            независимых решения, которые получаются при различных знаках Ω .
                                                                                                146

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Страницы