Механика. Щербаченко Л.А. - 149 стр.

                                                Случай большого трения (γ >> ω o ) .
                 При увеличении трения период колебания увеличивается. При
            большом трении движение вообще перестает быть колебательным. Это
            наступает при условии
                                 β
                   γ = ωo ,        = ω 0 ⇒ β = 2 Dm                                                      (18)
                                2m
                   При           дальнейшем              увеличении               трения   γ > ωo .   Полагая
              ω o2 − γ 2 = ±iδ , где δ = γ 2 − ω o2 является вещественной величиной, можно
            формулу (3) представить в виде
                              − ϕ ± δ t
                   x = Ao e                                                                              (19)
                 причем очевидно, что γ ± δ = γ ± γ 2 − ω o2 . Эта
            простая   экспоненциальная     функция     никакого
            колебания не содержит. Ее график приведен на рис.
            2.
                 Все эти явления очень хорошо демонстрируются
            на колебаниях маятника, помещенного в жидкости с
            различной вязкостью. Если вязкость очень велика
            (например, в глицерине), то маятник из отклоненного       Рис. 2
            положения медленно опускается к среднему поло-
            жению. Это движение ни в каком смысле не напоминает колебание.


                          Расчет затухания исходя из потерь энергии на трение.
                  Как уже было отмечено, энергия колебаний осциллятора расходуется на
            преодоление сил трения и вследствие этого уменьшается. Поэтому закон
            уменьшения амплитуды можно найти, исходя непосредственно из работы
            сил трения. Работа сил трения за один период колебаний равна
                                                                                  βV 2
                                                          T
                   ∆Eк = − β ∫ x&dx = − β ∫ x& dt = − β ∫ V 2 sin 2 ωt ⋅ dt = −
                                                    2
                                                                                       T                 (20)
                                                           o
                                                                                   2
                 где учтено, что рассматривается случай малого затухания, так что в
            течение одного периода можно пренебречь в первом приближении
            изменением амплитуды V колебаний скорости. С другой стороны, потеря
            энергии на совершение работы против сил трения за один период есть
            разность кинетических энергий частицы через один период, равная
                   ∆E к =
                            2
                                 (      2
                                                )
                              V1 − V22 = (V1 − V2 )(V1 + V2 ) ≈ 2V∆V = mV∆V
                            m 2         m                      m
                                                               2
                                                                                                         (21)
                 где принята во внимание малость уменьшения амплитуды за один
            период колебаний. Приравнивая правые части соотношений (21) и (20),
            получаем
                       βV 2              ∆V     β
                   −        T = mV∆V или    =−    V                                                      (22)
                        2                 T    2m
                                                                                                          149

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com