Механика. Щербаченко Л.А. - 151 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИГУ | Иркутск

Составители: 

Рубрика: 

151
D
F
A
o
4−=∆ . ЭТО означает, что амплитуда колебаний уменьшается
пропорционально времени, а не по экспоненциальному закону.
Затухание при произвольных силах трения.
Для того чтобы найти закон уменьшения амплитуды колебаний,
необходимо решить уравнения движения, что не всегда достаточно просто.
Однако, пользуясь энергетическими соображениями, можно прямым
вычислением потерь энергии на трение и их сравнением с полной энергией
сделать заключение о характере и скорости затухания колебаний, аналогично
тому, как это было сделано при выводе (24).
Применим этот “энергетический” метод для анализа затухания при сухом
трении. Для расчета удобнее пользоваться не амплитудой скорости, как
при выводе (24), а амплитудой отклонения А. За один период колебаний сила
o
F направлена против скорости, а пройденный при этом путь равен 4А.
Следовательно, потерянная на преодоление сил трения энергия равна
o
AFE 4−=∆ . С другой стороны, энергия колебаний равна
2
2
DA
E = и, следо-
вательно,
A
DA
E
∆
=
. Приравнивая последние два выражения
E
∆
, находим
D
F
A
o
4
−=∆ , что согласуется с результатом точного решения уравнения (25).
Оценим этим методом характер затухания для других зависимостей
силы трения от скорости. Если сила трения не зависит от скорости, то, как
это только что было показано, потеря энергии за период пропорциональна
амплитуде, т. е.
A
E ~
. Если vF
тр
~ , то, как это следует из (20),
2
~
A
E
.
Аналогично вычисляя работу сил трения за период, убеждаемся, что если
n
тр
vF ~
(
)
1>n , то
1
~
+
n
A
E
. Отсюда следует
1
~~
−
∆
∆
n
A
E
E
A
A
и, следовательно,
n
A
T
A
dt
dA
~~
∆
(27)
Это означает, что закон изменения амплитуды со временем имеет
следующий вид:
( )
n
btA
−
+
1
1
~ (28)
где b – постоянная. Например, в воздухе при не очень малых
скоростях сила трения пропорциональна квадрату скорости
2
~ vF
тр
.
Амплитуда колебаний точки при этом должна уменьшаться по закону
bt
+
1
.
Другими словами, если в момент 0
=
t амплитуда колебаний равна
o
A , то
закон изменения амплитуды имеет вид
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
                       Fo
             ∆A = −4      .   ЭТО    означает,   что   амплитуда       колебаний   уменьшается
                       D
            пропорционально времени, а не по экспоненциальному закону.


                             Затухание при произвольных силах трения.
                  Для того чтобы найти закон уменьшения амплитуды колебаний,
            необходимо решить уравнения движения, что не всегда достаточно просто.
            Однако, пользуясь энергетическими соображениями, можно прямым
            вычислением потерь энергии на трение и их сравнением с полной энергией
            сделать заключение о характере и скорости затухания колебаний, аналогично
            тому, как это было сделано при выводе (24).
                  Применим этот “энергетический” метод для анализа затухания при сухом
            трении. Для расчета удобнее пользоваться не амплитудой скорости, как
            при выводе (24), а амплитудой отклонения А. За один период колебаний сила
            Fo направлена против скорости, а пройденный при этом путь равен 4А.
            Следовательно, потерянная на преодоление сил трения энергия равна
                                                                         DA 2
            ∆E = −4 AFo . С другой стороны, энергия колебаний равна E =       и, следо-
                                                                          2
            вательно, ∆E = DA∆A . Приравнивая последние два выражения ∆E , находим
                  4F
            ∆A = − o , что согласуется с результатом точного решения уравнения (25).
                    D
                   Оценим этим методом характер затухания для других зависимостей
            силы трения от скорости. Если сила трения не зависит от скорости, то, как
            это только что было показано, потеря энергии за период пропорциональна
            амплитуде, т. е. ∆E ~ A . Если Fтр ~ v , то, как это следует из (20), ∆E ~ A 2 .
            Аналогично вычисляя работу сил трения за период, убеждаемся, что если
            Fтр ~ v n (n > 1) , то ∆E ~ A n +1 . Отсюда следует
                   ∆A ∆E
                      ~   ~ A n −1
                    A   E
                   и, следовательно,
                   dA ∆A
                      ~   ~ An                                                            (27)
                   dt   T
                 Это означает, что закон изменения амплитуды со временем имеет
            следующий вид:
                 A ~ (t + b )1−n
                               1
                                                                        (28)
                 где b – постоянная. Например, в воздухе при не очень малых
            скоростях сила трения пропорциональна квадрату скорости Fтр ~ v 2 .
                                                                              1
            Амплитуда колебаний точки при этом должна уменьшаться по закону      .
                                                                            t +b
            Другими словами, если в момент t = 0 амплитуда колебаний равна Ao , то
            закон изменения амплитуды имеет вид


                                                                                           151

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Страницы