Механика. Щербаченко Л.А. - 153 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИГУ | Иркутск

Составители: 

Рубрика: 

153
момент начала действия внешней силы, после некоторого промежутка
времени осциллятор будет совершать одни и те же установившиеся
гармонические колебания. Процесс установления колебаний называется
переходным режимом.
При рассмотрении переходного режима самым важным является
вопрос о его продолжительности. Оно определяется временем затухания
колебаний, которые имелись в момент начала действия внешней силы. Это
время нам известно – оно равно
γ
τ
1
= . Это есть тот промежуток времени,
после которого можно забыть о первоначально существовавших колебаниях
и рассматривать только установившиеся под действием внешней силы
колебания. С другой стороны, если начальных колебаний не было, то
вынужденные колебания не мгновенно достигнут своего стационарного
режима. Можно показать, что время установления стационарного режима
вынужденных колебаний после начала действия силы также равно
γ
τ
1
= .
Установившиеся вынужденные колебания.
В этом случае надо считать, что сила tFF
o
ω
cos= начала действовать
очень давно, т. е. в бесконечно далекий прошедший момент времени. Таким
образом, принимаем, что уравнение (33) справедливо для всех моментов
времени. Для его решения опять удобно воспользоваться комплексной фор-
мой гармонических колебаний, записав в этой форме выражения для силы в
правой части (33). Уравнение (33) принимает следующий вид:
ti
o
o
e
m
F
xxx
ω
ωγ =++
2
2
&&&
(34)
а его решение дается действительной частью решения уравнения (34).
Это решение ищем в виде
ti
Aex
α
= (35)
Здесь А не является, вообще говоря, действительной величиной.
Подставив это выражение в (34), получим
(
)
ti
o
o
ti
e
m
F
iAe
ωα
ωγαα =++−
22
2 (36)
Это равенство должно быть справедливым для всех моментов времени,
т. е. время t должно исключаться из него. Из этого условия следует, что
ω
α =
. Найдя из (36) величину А и умножив ее числитель и знаменатель на
γωωω i
o
2
22
−− , можем записать
( )
22
2
22
22
22
4
2
2
1
ωγωω
γωωω
γωωω
+−
−−
=
+−
=
o
oo
o
o
i
m
F
i
m
F
A (37)
Комплексное число (37) удобнее представить в экспоненциальной форме:
ϕi
o
eAA = (38а)
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
            момент начала действия внешней силы, после некоторого промежутка
            времени осциллятор будет совершать одни и те же установившиеся
            гармонические колебания. Процесс установления колебаний называется
            переходным режимом.
                 При рассмотрении переходного режима самым важным является
            вопрос о его продолжительности. Оно определяется временем затухания
            колебаний, которые имелись в момент начала действия внешней силы. Это
                                                                 1
            время нам известно – оно равно τ = . Это есть тот промежуток времени,
                                                                 γ
            после которого можно забыть о первоначально существовавших колебаниях
            и рассматривать только установившиеся под действием внешней силы
            колебания. С другой стороны, если начальных колебаний не было, то
            вынужденные колебания не мгновенно достигнут своего стационарного
            режима. Можно показать, что время установления стационарного режима
                                                                                   1
            вынужденных колебаний после начала действия силы также равно τ = .
                                                                                   γ


                             Установившиеся вынужденные колебания.
                 В этом случае надо считать, что сила F = Fo cos ωt начала действовать
            очень давно, т. е. в бесконечно далекий прошедший момент времени. Таким
            образом, принимаем, что уравнение (33) справедливо для всех моментов
            времени. Для его решения опять удобно воспользоваться комплексной фор-
            мой гармонических колебаний, записав в этой форме выражения для силы в
            правой части (33). Уравнение (33) принимает следующий вид:
                                           Fo iωt
                   &x& + 2γx& + ω o2 x =     e      (34)
                                           m
                 а его решение дается действительной частью решения уравнения (34).
            Это решение ищем в виде
                  x = Ae iαt                                                  (35)
                 Здесь А не является, вообще говоря, действительной величиной.
            Подставив это выражение в (34), получим
                         (
                   Ae iαt − α 2 + 2iγα + ωo2 =  )   Fo iωt
                                                    m
                                                      e                                (36)
                    Это равенство должно быть справедливым для всех моментов времени,
            т. е. время t должно исключаться из него. Из этого условия следует, что
            α = ω . Найдя из (36) величину А и умножив ее числитель и знаменатель на
            ω o2 − ω 2 − 2iγω , можем записать
                        Fo         1         Fo ω o2 − ω 2 − 2iγω
                   A=                      =                                           (37)
                                                       (     )
                        m ω o2 − ω 2 + 2iγω m ω o2 − ω 2 2 + 4γ 2 ω 2
                   Комплексное число (37) удобнее представить в экспоненциальной форме:
                   A = Ao e iϕ                                                     (38а)



                                                                                        153

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Страницы