Механика. Щербаченко Л.А. - 141 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИГУ | Иркутск

Составители: 

Рубрика: 

141
L
1
=ε , где L – большая длина. Теперь можно более ясно определить
смысл малости величины
ε
: если смещения х достаточно малы и удовлет-
воряют соотношению
ε
1
=<< Lx , то член в правой части (31а) можно
рассматривать как малый. В данном случае этот член называется возму-
щением, а метод, с помощью которого находится приближенное решение
уравнения, – методом, или теорией возмущений. Рассмотрим на примере
уравнения (31а) сущность этой теории и основные особенности нелинейных
колебаний.
При 0
=
ε
, т. е. когда возмущение отсутствует, система совершает гармо-
нические колебания. Пусть в этом случае гармоническое колебание имеет
вид
(
)
tAtx
ooo
ω
sin= (32)
Это колебание называется невозмущенным движением. Для
рассмотрения правой части (31а) в качестве возмущения необходимо,
чтобы амплитуда
o
A не была слишком большой. Она должна удовлетворять
условию 1<<
o
A
ε
. В противном случае нельзя применять теорию
возмущений. Решение при наличии возмущения, т. е. при 0
≠
ε
, можно
представить в виде
)
txtAx
oo 1
sin +=
ω
(33)
где
(
)
tx
1
– поправка к невозмущенному движению. При 0
→
ε
величина
(
)
tx
1
также должна стремиться к нулю. Поэтому
(
)
tx
1
является
малой величиной в сравнении с отклонениями при невозмущенном движении,
т. е. имеет место соотношение
(
)
o
Atx <<
1
. Подставляя выражение (33) для х в
уравнение (31а), получаем уравнение для
(
)
tx
1
:
(
)
2
11
222
1
2
1
sin2sin xtxAtAxx
oooooo
++=+ ωωεωω
&&
(34)
Второе и третье слагаемые в скобках в правой части много
меньше первого слагаемого в силу неравенства
(
)
o
Atx <<
1
. Поэтому ими
можно пренебречь в сравнении с первым слагаемым и записать
уравнение (34) в виде
( )
tAxx
oo
o
o
ω
εω
ω 2cos1
2
2
2
1
2
1
−=+
&&
, (35)
где использована формула
( )
tt
oo
ωω 2cos1
2
1
sin
2
−=
. Решение этого
уравнения будем искать в форме
tbax
o
ω
2cos
111
+= (36)
где
1
a и
1
b – постоянные. Подставляя (36) в (35), находим
( )
tAAtba
oo
o
o
o
oooo
ω
εωεω
ωωωω 2cos
2
2
2cos4
2
2
2
2
22
11
2
−=+−+ (37)
Поскольку это равенство должно быть справедливым для всех
моментов времени, коэффициенты при
t
o
ω
2cos
в правой и левой
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
               1
            ε=   , где L – большая длина. Теперь можно более ясно определить
               L
            смысл малости величины ε : если смещения х достаточно малы и удовлет-
                                          1
            воряют соотношению x << L = , то член в правой части (31а) можно
                                          ε
            рассматривать как малый. В данном случае этот член называется возму-
            щением, а метод, с помощью которого находится приближенное решение
            уравнения, – методом, или теорией возмущений. Рассмотрим на примере
            уравнения (31а) сущность этой теории и основные особенности нелинейных
            колебаний.
                   При ε = 0 , т. е. когда возмущение отсутствует, система совершает гармо-
            нические колебания. Пусть в этом случае гармоническое колебание имеет
            вид
                    x o (t ) = Ao sin ω o t                                            (32)
                   Это колебание называется невозмущенным движением. Для
            рассмотрения правой части (31а) в качестве возмущения необходимо,
            чтобы амплитуда Ao не была слишком большой. Она должна удовлетворять
            условию εAo << 1 . В противном случае нельзя применять теорию
            возмущений. Решение при наличии возмущения, т. е. при ε ≠ 0 , можно
            представить в виде
                    x = Ao sin ω o t + x1 (t )                                         (33)
                   где x1 (t ) – поправка к невозмущенному движению. При ε → 0
            величина x1 (t ) также должна стремиться к нулю. Поэтому x1 (t ) является
            малой величиной в сравнении с отклонениями при невозмущенном движении,
            т. е. имеет место соотношение x1 (t ) << Ao . Подставляя выражение (33) для х в
            уравнение (31а), получаем уравнение для x1 (t ) :
                   &x&1 + ω o2 x1 = εω o2 (Ao2 sin 2 ω o t + 2 Ao x1 sin ω o t + x12 ) (34)
                   Второе и третье слагаемые в скобках в правой части много
            меньше первого слагаемого в силу неравенства x1 (t ) << Ao . Поэтому ими
            можно пренебречь в сравнении с первым слагаемым и записать
            уравнение (34) в виде
                                      εω o2 2
                   &x&1 + ω o2 x1 =        Ao (1 − cos 2ω o t ) ,                            (35)
                                       2
                   где использована формула sin 2 ω o t = (1 − cos 2ω o t ) . Решение этого
                                                                                1
                                                                                2
            уравнения будем искать в форме
                   x1 = a1 + b1 cos 2ω o t                                                   (36)
                   где a1 и b1 – постоянные. Подставляя (36) в (35), находим
                                                                εω o2 2 εω o2 2
                                (                 )
                   ω o2 a1 + b1 − 4ω o2 + ω o2 cos 2ω o t =
                                                                 2
                                                                     Ao −
                                                                          2
                                                                             Ao cos 2ω o t   (37)
                Поскольку это равенство должно быть справедливым для всех
            моментов времени, коэффициенты при cos 2ω o t в правой и левой


                                                                                              141

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Страницы