Механика. Щербаченко Л.А. - 139 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИГУ | Иркутск

Составители: 

Рубрика: 

139
Поскольку закон движения для линейного осциллятора описывается
формулой
(
)
(
)
ϕ
ω
+= tAtx cos (23)
его скорость равна
(
)
ϕ
ω
ω
+−= tAx sin
&
(24)
выражения для кинетической и потенциальной энергий имеют
следующий вид:
( ) ( )
( ) ( )
ϕω
ω
ϕω
ω
+==
+==
t
AmDx
tE
t
Amxm
tE
п
k
2
222
2
222
cos
2
2
sin
22
&
(25)
В качестве промежутка времени, на котором определяется среднее,
берется период одного колебания. Вычисление средних значений
k
E и
п
E
сводится к нахождению средних значений от
(
ϕω +t
2
cos и
(
)
ϕω +t
2
sin . Оно
элементарно:
( ) ( )
( )
( )
T
TT
t
tt
T
dt
t
T
dtt
T
t
0
00
22
2sin
2
1
2
1
2
2cos11
cos
1
cos
++=
++
=+=+
∫∫
ϕω
ω
ϕω
ϕωϕω
Таким образом:
( )
2
1
cos
2
=+
t
t ϕω (26)
Аналогично можно получить:
( )
2
1
sin
2
=+
t
t ϕω (27)
Формулы (26) и (27) являются очень важными, и их следует хорошо
помнить. С учётом этих формул из (25) следует:
t
к
t
п
EE
=
(28)
т. е. средняя кинетическая энергия осциллятора равна его средней
потенциальной энергии. У знака среднего в (28) подставлен индекс t, чтобы
подчеркнуть, что речь идет о среднем по времени.
Когда говорится о среднем значении величины, всегда должно быть
ясно, об усреднении по какой переменной идет речь, потому что при
усреднении по некоторой другой переменной, вообще говоря, получается
совсем другой результат. Однако в большинстве случаев ясно, по какой
переменной производится усреднение, и никакого индекса у знака
усреднения не ставится.
Соотношение между смещением, скоростью и ускорением.
Отклонение и скорость даются формулами (23) и (24), а ускорение
равно:
(
ϕωω +−= tAx cos
2
&&
(29)
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
                 Поскольку закон движения для линейного осциллятора описывается
            формулой
                 x(t ) = A cos(ωt + ϕ )                                    (23)
                 его скорость равна
                 x& = − Aω sin (ωt + ϕ )                                   (24)
                 выражения для кинетической и потенциальной энергий имеют
            следующий вид:
                              mx& 2 mω 2 A 2
                   E k (t ) =       =          sin 2 (ωt + ϕ )
                               2        2                                                                  (25)
                                  2
                                      mω 2 A 2
                   E п (t ) =                  cos 2 (ωt + ϕ )
                              Dx
                                    =
                               2        2
                 В качестве промежутка времени, на котором определяется среднее,
            берется период одного колебания. Вычисление средних значений E k и E п
            сводится к нахождению средних значений от cos 2 (ωt + ϕ ) и sin 2 (ωt + ϕ ) . Оно
            элементарно:
                                                               1 1 + cos 2(ωt + ϕ )
                                                                                                                   T
                                                                                         1                      
                                              T                  T
                    cos (ωt + ϕ )       = ∫ cos 2 (ωt + ϕ )dt = ∫                                  sin 2(ωt + ϕ )
                                         1                                                       1
                         2
                                                                                   dt =    t +
                                    t    T 0                   T 0       2              2T     2ω               0

                   Таким образом:
                    cos 2 (ωt + ϕ ) =
                                          1
                                                                                                           (26)
                                    t     2
                   Аналогично можно получить:
                    sin 2 (ωt + ϕ ) =
                                         1
                                                                                                           (27)
                                    t    2
                  Формулы (26) и (27) являются очень важными, и их следует хорошо
            помнить. С учётом этих формул из (25) следует:
                   Eп t = E к t                                                   (28)
                  т. е. средняя кинетическая энергия осциллятора равна его средней
            потенциальной энергии. У знака среднего в (28) подставлен индекс t, чтобы
            подчеркнуть, что речь идет о среднем по времени.
                  Когда говорится о среднем значении величины, всегда должно быть
            ясно, об усреднении по какой переменной идет речь, потому что при
            усреднении по некоторой другой переменной, вообще говоря, получается
            совсем другой результат. Однако в большинстве случаев ясно, по какой
            переменной производится усреднение, и никакого индекса у знака
            усреднения не ставится.


                        Соотношение между смещением, скоростью и ускорением.
                 Отклонение и скорость даются формулами (23) и (24), а ускорение
            равно:
                  &x& = − Aω 2 cos(ωt + ϕ )                                  (29)


                                                                                                             139

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Страницы