Механика. Щербаченко Л.А. - 130 стр.

                                                  Колебания.
                                     Гармонические и собственные колебания.

                                                   Гармонические колебания.

                              Роль гармонических колебаний в природе.
                  Многие      физические    вопросы       сводятся         к
            исследованию поведения системы при небольших
            отклонениях от равновесного состояния, в котором она
            пребывает. Например, на дне шарообразной чаши
            покоится шарик (рис. 1а ) . Спрашивается: каким будет
            его движение после отклонения в некоторое положение
            от средней точки? Для ответа надо знать действующую на
            шарик силу и решить уравнение движения. Однако даже в
            этом простейшем случае зависимость силы от расстояния
            довольно сложная и решение уравнения очень трудно про-
            анализировать. В качестве другого примера возьмем
            шарик, укрепленный н а д л и н н о й уп р уг о й п л а с т и н е
            (рис. 1б ) . В положении равновесия пластина несколько
            изогнута и шарик покоится в некоторой точке. Спра-               Рис. 1
            шивается: как будет двигаться шарик в вертикальном направлении, если его
            отклонить от положения равновесия и отпустить? В этом случае сила, дей-
            ствующая на шарик, выражается сложной функцией его отклонения от
            положения равновесия в вертикальном направлении и при решении задачи
            встречаются те же трудности, которые упомянуты в первом примере.
                  Однако в большинстве практически важных случаев нас интересует
            поведение системы не при всевозможных отклонениях от положения
            равновесия, а лишь при малых отклонениях. При этом условии вопрос
            значительно упрощается. Каким бы сложным ни был закон действия f(x), эту
            функцию можно представить в виде ряда Тейлора:
                                                  x2            x3
                    f ( x ) = f (0) + xf ′(0) +      f ′′(0 ) +    f ′′′(0 ) + ...     (1)
                                                  2!            3!
                     Это чисто математическое утверждение, и условия возможности
            такого разложения функции в ряд рассматриваются в математике. Нам
            достаточно заметить, что законы действия сил f(x), встречающихся в
            физике, обычно удовлетворяют этим условиям. Очевидно, f (0 ) = 0 ввиду
            того, что точка x = 0 является точкой равновесия и, следовательно, сила в
            этой точке равна нулю. Далее возможны два случая: либо f ′(0) ≠ 0 , либо
             f ′(0) = 0 . В первом случае член xf ′(0 ) является главным членом разложения
            (1). Все последующие члены ряда пропорциональны x 2 , x 3 и т. д. и при
            достаточно малом х сколь угодно малы в сравнении с первым членом.
            Поэтому при анализе достаточно малых отклонений х силу можно считать
            равной xf ′(0) . Поскольку точка x = 0 должна быть точкой устойчивого
            равновесия, сила xf ′(0) должна быть направлена всегда к точке x = 0 . Это

                                                                                      130

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com