Механика. Щербаченко Л.А. - 191 стр.

                   Вся эта картина характерна именно для явления резонанса, который
            должен наступать всякий раз, когда частота гармонической внешней силы
            совпадает с одной из нормальных частот колебательной системы. И
            действительно, сопоставив, с одной стороны, условия, определяющие
            частоты внешней силы, при которых амплитуды стоячих волн в стержне
            достигают максимального значения, а с другой – условия, определяющие
            частоты нормальных колебаний стержня, мы позднее убедимся что те и
            другие условия совпадают.
                   Сейчас мы рассмотрим явление резонанса в упругом стержне с
            энергетической точки зрения.
                   Как и в случае колебательной системы с одной или несколькими
            степенями свободы, вынужденные колебания в сплошной системе нарастают
            и поддерживаются за счет работы, совершаемой внешней силой. Резонанс
            наступает тогда, когда работа, совершаемая внешней силой за период,
            достигает максимума. Поскольку внешняя сила изменяется по
            гармоническому закону, то и движение конца стержня происходит по
            гармоническому закону. Если f = Fm sin ω ⋅ t есть внешняя сила, a
            v = Vm sin (ω ⋅ t + ϕ ) – скорость движения конца стержня, то fv есть мощность,
                                             T
            развиваемая силой f , а A = ∫ fvdt – работа, совершаемая силой f за период
                                             0

            T . Подставляя приведенные выше выражения для f и v в этот интеграл и
            произведя простые преобразования и интегрирование, получим:
                        FmVm
                   A=        cos ϕ                                                    (11)
                          2
                  Для того чтобы эта работа достигла максимума, прежде всего, как и в
            случае системы с одной степенью свободы, должно быть cos ϕ = 1 , т. е. угол
            сдвига фаз ϕ должен быть равен нулю, что действительно имеет место при
            резонансе. Далее, необходимо, чтобы произведение амплитуд силы и
            скорости также достигло максимума. В системе с одной степенью свободы
            это условие выполняется «автоматически», так как при заданной внешней
            силе амплитуда скорости достигает максимума также при резонансе. Но в
            сплошной системе амплитуды смещений и скоростей в разных точках
            системы, вообще говоря, различны. Если на систему действует
            гармоническая внешняя сила заданной амплитуды, то произведение
            амплитуд внешней силы и скорости достигает максимума там, где
            максимальна амплитуда скорости, т. е. в пучности скоростей. Следовательно,
            наиболее сильный резонанс будет наблюдаться в том случае, когда заданная
            внешняя сила приложена в том месте, где при колебаниях образуется
            пучность скорости. Если же заданная внешняя сила приложена в узле
            скоростей, где амплитуда скорости равна нулю, то работа внешней силы
            также будет равна нулю, и резонанс наблюдаться не будет.
                                                                 Приведенные выше
                                                           соображения относятся к
                                                           тому простому случаю,
                                                                                       191
                                 Рис. 6
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com