Механика. Щербаченко Л.А. - 196 стр.

                  При сопоставлении этих частот необходимо иметь в виду, что граничное
            условие для неподвижно закрепленного конца стержня представляет собой
            частный случай граничного условия для конца стержня, совершающего
            заданное гармоническое движение. Это видно уже из того, что от второго
            граничного условия можно перейти к первому, положив амплитуду
            гармонического движения равной нулю. Вместе с тем, как мы видели, и при
            том и при другом граничном условии на конце стержня образуется узел
            смещений и скоростей и пучность деформаций. Значит, стержень, у
            которого один конец закреплен неподвижно, а другой совершает заданное
            движение, является аналогом стержня с двумя закрепленными неподвижно
            концами, а стержень" у которого один конец свободен, а другой совершает
            заданное движение, – аналогом стержня с одним свободным и одним
            неподвижно закрепленным концом. По соображениям такого же характера,
            как приведенные выше, конец стержня, на который действует заданная сила,
            нужно считать аналогом свободного конца.
                  Учтя все сказанное, мы можем констатировать, что частоты нормальных
            колебаний стержня и частоты действующей на стержень внешней силы, при
            которых амплитуды стоячих волн в пучностях достигают максимума, при
            аналогичных краевых условиях совпадают: при одинаковых краевых
            условиях на обоих концах стержня на длине стержня должно укладываться
            целое число полуволн, а при разных краевых условиях на обоих концах
            стержня – нечетное число четвертей волн.
                  Итак, мы убедились, что возникновение в стержне под действием
            гармонической внешней силы стоячих волн значительной амплитуды
            представляет собой явление резонанса: внешняя сила поддерживает сильные
            вынужденные колебания, частота и распределение амплитуд которых очень
            близки к частоте и распределению амплитуд одного из нормальных
            колебаний стержня. Роль внешней силы сводится при этом лишь к
            компенсации потерь энергии в стержне. Представим себе, что после установ-
            ления стоячей волны потери энергии в стержне начинают уменьшаться, но
            вместе с тем мы уменьшаем амплитуду внешней силы (или заданного
            движения) так, чтобы амплитуда стоячей волны оставалась неизменной. В
            пределе, когда потери энергии в системе совсем прекратятся и амплитуда
            внешней силы обратится в нуль, в стержне останется стоячая волна,
            совершенно идентичная с соответствующим нормальным колебанием стержня.
            Таким образом, свойственные сплошной системе без потерь нормальные
            колебания тождественны со стоячими волнами, которые могут возникать в
            этой системе.
                  Этот вывод позволяет обосновать то положение, которым мы
            пользовались без доказательства при рассмотрении нормальных колебаний в
            сплошной системе. Ранее мы полагали, что распределение амплитуд
            нормальных колебаний должно быть либо синусоидальным, либо
            косинусоидальным; теперь мы можем это положение считать обоснованным,
            поскольку мы убедились, что распределение амплитуд стоячих волн

                                                                                   196

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com