Механика. Щербаченко Л.А. - 215 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИГУ | Иркутск

Составители: 

Рубрика: 

215
бесконечно малый параллельный перенос тела, в результате которого центр
инерции переходит из начального положения в конечное при неизменной
ориентации осей подвижней системы координат. Вторая – бесконечно малый
поворот вокруг центра инерции, в результате которого твердое тело
приходит в конечное положение.
Обозначим радиус-вектор произвольной точки твердого тела в
подвижной системе координат посредством r, а радиус-вектор той же точки в
неподвижной системе – посредством r*. Тогда бесконечно малое смещение
dr
*
точки P складывается из перемещения dR вместе с центром инерции и
перемещения
[
]
rd
r
r
⋅
ϕ
относительно последнего при повороте на бесконечно
малый угол
ϕ
d
:
[
rdrdrd
r
r
r
r
⋅
+
=
ϕ
*
Разделив это равенство на время dt, в течение которого произошло
рассматриваемое перемещение, и введя скорости
v
dt
rd
r
r
=
*
V
dt
Rd
r
r
=
Ω=
r
r
dt
d
ϕ
(1)
получим соотношение между ними
[
]
rVv
r
r
r
r
⋅Ω+=
(2
)
Вектор V есть скорость центра инерции твердого тела; ее называют
также скоростью его поступательного движения. Вектор
Ω
называется
угловой скоростью вращения твердого тела; его направление (как и
направление
ϕ
d
) совпадает с направлением оси вращения. Таким образом,
скорость v любой точки тела (относительно неподвижной системы
координат) может быть выражена через поступательную скорость тела и
угловую скорость его вращения. Следует подчеркнуть, что при выводе
формулы (2) специфические свойства начала координат как центра инерции
тела совершенно не были использованы. Преимущества этого выбора
выяснятся лишь позже при вычислении энергии движущегося тела.
Допустим теперь, что жестко связанная с твердым телом система
координат выбрана так, что ее начало находится не в центре инерции О, а в
некоторой точке О' на расстоянии а от точки О. Скорость перемещения
начала О' этой системы обозначим через V
′
, а угловую скорость ее вращения
– через
Ω
′
.
Рассмотрим снова какую-либо точку Р твердого тела и обозначим ее
радиус-вектор относительно начала О' через r
'
. Тогда
arr
r
r
r
+
′
=
и подстановка
в (2) дает:
[
]
[
]
raVv
′
⋅Ω+⋅Ω+=
r
r
r
r
r
r
.
С другой стороны, по определению V
r
′
и
Ω
′
r
, должно быть
[
]
rVv
r
r
r
r
′
⋅Ω
′
+
′
=
.
Поэтому мы заключаем, что
[
]
aVV
r
r
r
r
⋅Ω+=
′
и
Ω
=
Ω
′
r
r
(3)
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
            бесконечно малый параллельный перенос тела, в результате которого центр
            инерции переходит из начального положения в конечное при неизменной
            ориентации осей подвижней системы координат. Вторая – бесконечно малый
            поворот вокруг центра инерции, в результате которого твердое тело
            приходит в конечное положение.
                  Обозначим радиус-вектор произвольной точки твердого тела в
            подвижной системе координат посредством r, а радиус-вектор той же точки в
            неподвижной системе – посредством r*. Тогда бесконечно малое смещение
            dr* точки P складывается из перемещения dR вместе с центром инерции и
                             [
                            rr
                                    ]
            перемещения dϕ ⋅r относительно последнего при повороте на бесконечно
            малый угол dϕ :
                                              dr * = dr + [dϕ ⋅r ]
                                               r      r     rr
                 Разделив это равенство на время dt, в течение которого произошло
            рассматриваемое перемещение, и введя скорости
                                            r      r     r
                                           dr * r dR r dϕ r
                                               =v    =V    =Ω                                 (1)
                                            dt    dt    dt
                   получим соотношение между ними
                                                                     r r r r
                                                                           [ ]
                                                                     v =V + Ω ⋅ r
                                                                                               (2
                                                                      )
                   Вектор V есть скорость центра инерции твердого тела; ее называют
            также скоростью его поступательного движения. Вектор Ω называется
            угловой скоростью вращения твердого тела; его направление (как и
            направление dϕ ) совпадает с направлением оси вращения. Таким образом,
            скорость v любой точки тела (относительно неподвижной системы
            координат) может быть выражена через поступательную скорость тела и
            угловую скорость его вращения. Следует подчеркнуть, что при выводе
            формулы (2) специфические свойства начала координат как центра инерции
            тела совершенно не были использованы. Преимущества этого выбора
            выяснятся лишь позже при вычислении энергии движущегося тела.
                   Допустим теперь, что жестко связанная с твердым телом система
            координат выбрана так, что ее начало находится не в центре инерции О, а в
            некоторой точке О' на расстоянии а от точки О. Скорость перемещения
            начала О' этой системы обозначим через V ′ , а угловую скорость ее вращения
            – через Ω ′ .
                   Рассмотрим снова какую-либо точку Р твердого тела и обозначим ее
                                                                        r r r
            радиус-вектор относительно начала О' через r'. Тогда r = r ′ + a и подстановка
            в (2) дает:
                                           r r r r
                                                        [
                                           v =V + Ω⋅a + Ω⋅r′ .] [
                                                               r r
                                                                       ]
                   С другой стороны, по определению V ′ и Ω ′ , должно быть v = V ′ + [Ω ′ ⋅ r ′].
                                                          r     r             r r      r r
                                                            r     r
            Поэтому мы заключаем, что V ′ = V + [Ω ⋅ a ] и Ω′ = Ω (3)
                                         r   r r r




                                                                                              215

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Страницы