Механика. Щербаченко Л.А. - 217 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИГУ | Иркутск

Составители: 

Рубрика: 

217
Тензор инерции.
Для вычисления кинетической энергии твердого тела будем рас-
сматривать его как дискретную систему материальных точек. Тогда можно
написать:
∑
=
2
2
mv
T
где суммирование производится по всем малым элементам,
составляющим тело. Здесь и ниже мы опускаем индексы, нумерующие
эти элементы, с целью упрощения записи формул, Подставив сюда (2),
получим:
[ ]
( )
[ ] [ ]
.
2
2
2
2
2
2
∑
∑∑∑
⋅Ω+⋅Ω+=⋅Ω+= r
m
rVmV
m
rV
m
T
r
r
r
rrr
r
rr
Скорости V и
Ω
одинаковы для всех точек твердого тела. Поэтому в
первом члене V
2
/2 выносится за знак суммы, а сумма
∑
m есть масса тела,
которую мы будем обозначать посредством m. Во втором члене пишем:
[
]
[
]
[
]
∑
Ω⋅=
∑
∑
Ω⋅=⋅Ω rmVVrmrVm
r
r
r
r
r
r
r
Отсюда видно, что если начало движущейся системы координат
выбрано, как условленно, в центре инерции, то этот член обращается в нуль,
так как тогда
∑
=0mr . Наконец, в третьем члене раскрываем квадрат
векторного произведения и в результате находим:
( )
∑
⋅Ω−Ω+=
2
22
2
1
2
2
rrm
V
T
r
r
µ
(3
)
Таким образом, кинетическая энергия твердого тела может быть
представлена в виде суммы двух частей. Первый член в (3) есть кинетическая
энергия поступательного движения – она имеет такой вид, как если бы вся
масса тела была сосредоточена в его центре инерции. Второй член есть
кинетическая энергия вращательного движения с угловой скоростью
Ω
во-
круг оси, проходящей через центр инерции. Подчеркнем, что возможность
такого разделения кинетической энергии на две части обусловлена выбором
начала связанной с телом системы координат именно в его центре инерции.
Перепишем кинетическую энергию вращения в тензорных
обозначениях, т. е. через компоненты
i
x
,
i
Ω
векторов
r
r
,
Ω
r
3
3
Здесь буквами i, j, k обозначаются тензорные индексы, пробегающие значения 1, 2,
3. При этом везде применяется известное правило суммирования, согласно которому знаки
сумм опускаются, а по всем дважды повторяющимся (так называемым «немым») индексам
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
                                        Тензор инерции.
                 Для вычисления кинетической энергии твердого тела будем рас-
            сматривать его как дискретную систему материальных точек. Тогда можно
            написать:
                                                      mv 2
                                                 T =∑
                                                       2
                  где суммирование производится по всем малым элементам,
            составляющим тело. Здесь и ниже мы опускаем индексы, нумерующие
            эти элементы, с целью упрощения записи формул, Подставив сюда (2),
            получим:

                                ( [ ])
                            m r r r 2   m r2             m r r2
                                                                        [ ]           [ ]
                                                rr r
                       T = ∑ V + Ω⋅r = ∑ V + ∑ mV Ω⋅r + ∑ Ω⋅r .
                            2           2                2
                 Скорости V и Ω одинаковы для всех точек твердого тела. Поэтому в
            первом члене V2/2 выносится за знак суммы, а сумма ∑ m есть масса тела,
            которую мы будем обозначать посредством m. Во втором члене пишем:

                                 ∑ mV
                                     rr r
                                      Ω⋅r[ ]
                                          = ∑ mr
                                                r r
                                                 V  ⋅Ω =[ ][ ]
                                                         r r
                                                         V ⋅Ω ∑ mr
                                                                  r

                 Отсюда видно, что если начало движущейся системы координат
            выбрано, как условленно, в центре инерции, то этот член обращается в нуль,
            так как тогда ∑ mr =0 . Наконец, в третьем члене раскрываем квадрат
            векторного произведения и в результате находим:

                                             T=
                                                µV 2 1    2 2 r r 2
                                                    + ∑ mΩ r − Ω⋅r               ( )
                                                 2   2             
                                                                                                 (3
                                                                    )
                  Таким образом, кинетическая энергия твердого тела может быть
            представлена в виде суммы двух частей. Первый член в (3) есть кинетическая
            энергия поступательного движения – она имеет такой вид, как если бы вся
            масса тела была сосредоточена в его центре инерции. Второй член есть
            кинетическая энергия вращательного движения с угловой скоростью Ω во-
            круг оси, проходящей через центр инерции. Подчеркнем, что возможность
            такого разделения кинетической энергии на две части обусловлена выбором
            начала связанной с телом системы координат именно в его центре инерции.
                  Перепишем      кинетическую энергию вращения rв тензорных
                                                                                   r
            обозначениях, т. е. через компоненты xi ,           Ω       векторов   r , Ω3
                                                                    i
                   3
                    Здесь буквами i, j, k обозначаются тензорные индексы, пробегающие значения 1, 2,
            3. При этом везде применяется известное правило суммирования, согласно которому знаки
            сумм опускаются, а по всем дважды повторяющимся (так называемым «немым») индексам
                                                                                                217

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Страницы