Механика. Щербаченко Л.А. - 218 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИГУ | Иркутск

Составители: 

Рубрика: 

218
Имеем:
{
}
{
}
(
)
.
k
x
i
x
ik
δ
l
xm
k
Ω
i
Ω
k
x
i
x
k
Ω
i
Ω
l
x
ik
δ
k
Ω
i
Ωm
k
x
k
Ω
i
x
i
Ω
i
x
i
Ωm
вр
T
∑
−
∑
=
∑
−=−=
2
2
1
2
2
1
22
2
1
Здесь использовано тождество
k
ik
i
Ω
Ω
δ
, где
ik
δ
– единичный тензор,
известный как символ Кронекера (компоненты которого равны единице при
ki
=
и нулю при
ki
≠
). Введя тензор
(
)
∑
−=
kiikl
ik
xxxmI δ
2
,
(4
)
получим окончательное выражение для кинетической энергии твердого
тела в виде
kiik
I
V
T ΩΩ+=
2
1
2
2
µ
.
(5
)
Функция Лагранжа твердого тела получается из (5) вычитанием
потенциальной энергии
UI
V
L
kiik
−ΩΩ+=
2
1
2
2
µ
(6)
Напомним, что для движения одной частицы во внешнем поле общий
вид функции Лагранжа:
( )
trU
mv
L ,
2
2
r
−= , где
(
)
trU ,
r
- потенциальная энергия
частицы в этом поле, а
2
2
mv
- кинетическая энергия этой частицы.
Потенциальная энергия является в общем случае функцией шести
переменных, определяющих положение твердого тела, например, трех
координат X, Y, Z центра инерции и трех углов, определяющих ориентацию
движущихся осей координат относительно неподвижных.
Тензор
ik
I
называется тензором моментов инерции или просто
тензором инерции тела. Из определения (4) следует, что он симметричен, т.
е.
подразумевается суммирование по значениям 1, 2, 3; так, A
i
B
i
= AB,
22
A
l
A
l
A
l
A == и т. д.
Обозначение немых индексов можно, очевидно, менять произвольным образом (лишь бы оно
не совпало с обозначением других фигурирующих в данном выражении тензорных
индексов).
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
                   Имеем:
                   1
                          {                } 1
                                                   {                     }    1
                                                                                          (        )
               T = ∑ m Ωi2 xi2 −Ωi xi Ωk xk = ∑ m Ωi Ωk δik xl2 −Ωi Ωk xi xk = Ω Ω ∑ m xl2δik − xi xk .
                вр 2                         2                                2 i k
                  Здесь использовано тождество Ωi =δ ik Ω k , где δ ik – единичный тензор,
            известный как символ Кронекера (компоненты которого равны единице при
            i = k и нулю при i ≠ k ). Введя тензор
                                                                    (
                                                        I ik = ∑ m xl2δ ik − xi xk   ),
                                                                                                    (4
                                                           )
                   получим окончательное выражение для кинетической энергии твердого
                                           тела в виде
                                                           µV 2 1
                                                        T=     + I ik Ωi Ω k .
                                                            2   2
                                                                                                    (5
                                                     )
                 Функция Лагранжа твердого тела получается из (5) вычитанием
            потенциальной энергии
                                           µV 2 1
                                        L=     + I ik Ωi Ω k − U                                   (6)
                                            2   2
                 Напомним, что для движения одной частицы во внешнем поле общий
                                        mv 2      r                r
            вид функции Лагранжа: L =        − U (r , t ) , где U (r , t ) - потенциальная энергия
                                          2
                                      2
                                   mv
            частицы в этом поле, а      - кинетическая энергия этой частицы.
                                    2
                 Потенциальная энергия является в общем случае функцией шести
            переменных, определяющих положение твердого тела, например, трех
            координат X, Y, Z центра инерции и трех углов, определяющих ориентацию
            движущихся осей координат относительно неподвижных.
                 Тензор I ik называется тензором моментов инерции или просто
            тензором инерции тела. Из определения (4) следует, что он симметричен, т.
            е.


            подразумевается суммирование по значениям 1, 2, 3; так, AiBi = AB, A 2 = A A = A 2 и т. д.
                                                                                l     l l
            Обозначение немых индексов можно, очевидно, менять произвольным образом (лишь бы оно
            не совпало с обозначением других фигурирующих в данном выражении тензорных
            индексов).

                                                                                                   218

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Страницы