Механика. Щербаченко Л.А. - 219 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИГУ | Иркутск

Составители: 

Рубрика: 

219
kiik
I
I
=
(7)
Выпишем для наглядности его компоненты в явном виде в следующей
таблице:
(
)
( )
( )
+−−
−+−
−−+
=
∑∑∑
∑∑∑
∑∑∑
22
22
22
yxmmzymzx
myzzxmmyx
mxzmxyxym
I
ik
(8)
Компоненты
xx
I
,
yy
,
zz
I
иногда называют моментами инерции
относительно соответствующих осей.
Тензор инерции, очевидно, аддитивен – моменты инерции тела равны
суммам моментов инерции его частей,
Если твердое тело можно рассматривать как сплошное, то в
определении (4) сумма заменяется интегралом по объему тела (поскольку
число точек тела бесконечно):
dV
k
x
i
x
ikl
x
ik
I
∫
−= δρ
2
(9)
Как и всякий симметричный тензор второго ранга, тензор инерции
может быть приведен к диагональному виду путем соответствующего выбора
направлений осей
1
x ,
2
x ,
3
x . Эти направления называют главными осями
инерции, а соответствующие значения компонент тензора — главными
моментами инерции. Обозначим их как I
1
, I
2
, I
3
. При таком выборе осей
1
x ,
2
x ,
3
x кинетическая энергия вращательного движения тела выражается очень
просто:
(
)
2
33
2
22
2
11
2
1
Ω+Ω+Ω= IIIT
вр
(10)
Отметим, что каждый из трех главных моментов инерции не может
быть больше суммы двух других. Так,
∑
=
+≥
∑
++=+
3
2
2
2
1
2
3
2
2
2
2
121
IxxmxxxmII
(11)
Тело, у которого все три главных момента инерции I
1
, I
2
, I
3
различны,
называют асимметрическим волчком.
Если два главных момента инерции равны друг другу, т.е.
3
2
1
I
I
I
≠
=
,
то твердое тело называют симметрическим волчком. В этом случае выбор
направления главных осей в плоскости
21
xx произволен.
Если же все три главных момента инерции совпадают, то тело
называют шаровым волчком. В этом случае произволен выбор всех трех
главных осей инерции; в качестве их можно взять любые три взаимно
перпендикулярные оси.
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
                                                       I ik = I ki                                       (7)
                 Выпишем для наглядности его компоненты в явном виде в следующей
            таблице:

                                        
                                             (
                                         ∑ m y2 + x2       )      − ∑ mxy              − ∑ mxz     
                                                                                                    
                                 I ik =  − ∑ myx                    (
                                                                 ∑ m x +z
                                                                       2   2
                                                                               )        − ∑ myz     
                                        
                                         − ∑ mzx
                                        
                                                                   − ∑ mzy                (
                                                                                       ∑m x +y
                                                                                            2   2
                                                                                                    )
                                                                                                    
                                                                                                    
                                                                                                    
                                                          (8)
                 Компоненты I xx , I yy , I zz иногда называют моментами инерции
            относительно соответствующих осей.
                 Тензор инерции, очевидно, аддитивен – моменты инерции тела равны
            суммам моментов инерции его частей,
                 Если твердое тело можно рассматривать как сплошное, то в
            определении (4) сумма заменяется интегралом по объему тела (поскольку
            число точек тела бесконечно):

                                       I = ∫ ρ  x 2δ − x x dV                                        (9)
                                        ik       l ik i k 
                     Как и всякий симметричный тензор второго ранга, тензор инерции
            может быть приведен к диагональному виду путем соответствующего выбора
            направлений осей x1 , x 2 , x 3 . Эти направления называют главными осями
            инерции, а соответствующие значения компонент тензора — главными
            моментами инерции. Обозначим их как I1, I2, I3. При таком выборе осей x1 ,
            x 2 , x 3 кинетическая энергия вращательного движения тела выражается очень
            просто:

                                       Tвр =
                                                 1
                                                 2
                                                   (
                                                   I1Ω12 + I 2Ω 22 + I 3Ω32        )                    (10)

                 Отметим, что каждый из трех главных моментов инерции не может
            быть больше суммы двух других. Так,

                          I + I = ∑ m x 2 + x 2 + 2 x 2 ≥ ∑ m x 2 + x 2  = I                    (11)
                           1 2         1 2            3          1 2 3
                  Тело, у которого все три главных момента инерции I1, I2, I3 различны,
            называют асимметрическим волчком.
                  Если два главных момента инерции равны друг другу, т.е. I1 = I 2 ≠ I 3 ,
            то твердое тело называют симметрическим волчком. В этом случае выбор
            направления главных осей в плоскости x1 x 2 произволен.
                  Если же все три главных момента инерции совпадают, то тело
            называют шаровым волчком. В этом случае произволен выбор всех трех
            главных осей инерции; в качестве их можно взять любые три взаимно
            перпендикулярные оси.
                                                                                                         219

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Страницы