Механика. Щербаченко Л.А. - 251 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИГУ | Иркутск

Составители: 

Рубрика: 

251
всех частиц тела полностью определяет его деформацию. В самом деле,
рассмотрим две бесконечно близкие точки P(x
1
, x
2
, x
3
) и
P'(x
1
+dx
1
,x
2
+dx
2
,x
3
+dx
3
), имеющие смещения u(x
1
,x
2
,x
3
) и
u'=u(x
1
+dx
1
,x
2
+dx
2
,x
3
+dx
3
). Из рисунка нетрудно видеть, что если взаимное
расположение точек в недеформированном состоянии задавалось радиус-
вектором проекции , то в результате деформаций новое взаимное
расположение задается вектором
(1.7)
В частности, если u'=u, то деформации в т. P отсутствуют.
Рис. 1.4.
Для удобства описания деформаций возведем (1.7) в квадрат и будем
оперировать модулями векторов и .Тогда
(1.8)
В равенстве (1.8) пренебрежем последним членом в правой части, поскольку
снижаем деформации малыми , а проекции вектора du представим в
виде сумм
(1.9)
Выражение (1.9), по существу описывает приращение каждой из трех
проекций вектора смещения при переходе из т.P в т.P', и содержит три
слагаемых, каждое из которых есть произведение производной функции u
i
в
т.P на приращение соответствующего аргумента dx
j
. Расписывая в (1.8)
скалярное произведение в виде
и подставляя (1.9) в (1.8), получим
(1.10)
где, по определению,
(1.11)
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
            всех частиц тела полностью определяет его деформацию. В самом деле,
            рассмотрим две бесконечно близкие точки P(x1, x2, x3) и
            P'(x1+dx1,x2+dx2,x3+dx3),    имеющие        смещения      u(x1,x2,x3)     и
            u'=u(x1+dx1,x2+dx2,x3+dx3). Из рисунка нетрудно видеть, что если взаимное
            расположение точек в недеформированном состоянии задавалось радиус-
            вектором             проекции , то в результате деформаций новое взаимное
            расположение задается вектором
                                                                                  (1.7)

            В частности, если u'=u, то деформации в т. P отсутствуют.




                     Рис. 1.4.

            Для удобства описания деформаций возведем (1.7) в квадрат и будем
            оперировать модулями векторов и .Тогда
                                                                         (1.8)

            В равенстве (1.8) пренебрежем последним членом в правой части, поскольку
            снижаем деформации малыми           , а проекции вектора du представим в
            виде сумм
                                                                                    (1.9)

            Выражение (1.9), по существу описывает приращение каждой из трех
            проекций вектора смещения при переходе из т.P в т.P', и содержит три
            слагаемых, каждое из которых есть произведение производной функции ui в
            т.P на приращение соответствующего аргумента dxj. Расписывая в (1.8)
            скалярное произведение в виде

            и подставляя (1.9) в (1.8), получим
                                                                                   (1.10)

            где, по определению,
                                                                                   (1.11)


                                                                                     251

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Страницы