Механика. Щербаченко Л.А. - 253 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИГУ | Иркутск

Составители: 

Рубрика: 

253
Пусть в окрестности т. P(x
1
,x
2
,x
3
) деформации таковы, что кубик со
сторонами dx
1
, dx
2
и dx
3
превращается в параллелепипед.Для наглядности
рассмотрим кратину деформации в плоскости X
1
X
2
. Смещения вершин
квадрата при деформации изображены соответствующими векторами. Длины
прямоугольника в направлении главных осей X
1
и X
2
изменились до величин
(1.14)
Из (1.14) легко вычисляются относительные удлинения:
(1.15)
С использованием соотношения (1.13) легко также связать изменение
элементарного объема с диагональными компонентами тензора. Объем
элементарного параллелепипеда
(1.16)
и также изменяется при деформациях. Относительное изменение этого
объема при малых деформациях , как следует из (1.16), равно:
(1.17)
Важно отметить, что при сдвиге объем тела не меняется. Поэтому при
деформациях сдвига сумма диагональных компонент тензора деформаций
(иногда употребляют термин "след тензора"), приведенного к главным осям,
равна нулю (см. ниже).
Рис. 1.6.
Поясним далее физический смысл недиагональных компонент тензора
деформации. Пусть параллелепипед испытывает деформацию, в результате
которой прямоугольник на рис. 1.6 превращается в параллелограмм. В
рассматриваемом примере мы отвлекаемся, как и ранее, от смещения частиц
вдоль оси X
3
. Легко далее посчитать углы и , на которые повернулись
стороны параллелограмма относительно сторон параллелепипеда. Они,
очевидно, равны
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
            Пусть в окрестности т. P(x1,x2,x3) деформации таковы, что кубик со
            сторонами dx1, dx2 и dx3 превращается в параллелепипед.Для наглядности
            рассмотрим кратину деформации в плоскости X1 X2. Смещения вершин
            квадрата при деформации изображены соответствующими векторами. Длины
            прямоугольника в направлении главных осей X1 и X2 изменились до величин
                                                                               (1.14)

            Из (1.14) легко вычисляются относительные удлинения:
                                                                                   (1.15)

            С использованием соотношения (1.13) легко также связать изменение
            элементарного объема с диагональными компонентами тензора. Объем
            элементарного параллелепипеда
                                                                        (1.16)

            и также изменяется при деформациях. Относительное изменение этого
            объема при малых деформациях    , как следует из (1.16), равно:
                                                                            (1.17)

            Важно отметить, что при сдвиге объем тела не меняется. Поэтому при
            деформациях сдвига сумма диагональных компонент тензора деформаций
            (иногда употребляют термин "след тензора"), приведенного к главным осям,
            равна нулю (см. ниже).




                     Рис. 1.6.

            Поясним далее физический смысл недиагональных компонент тензора
            деформации. Пусть параллелепипед испытывает деформацию, в результате
            которой прямоугольник на рис. 1.6 превращается в параллелограмм. В
            рассматриваемом примере мы отвлекаемся, как и ранее, от смещения частиц
            вдоль оси X3. Легко далее посчитать углы и , на которые повернулись
            стороны параллелограмма относительно сторон параллелепипеда. Они,
            очевидно, равны


                                                                                     253

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Страницы