Механика. Щербаченко Л.А. - 36 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИГУ | Иркутск

Составители: 

Рубрика: 

36
)(
2
2
1
2
2
xx
k
xdxkA
kxF
dxFdA
у
упр
−−=−=
−=
=
∫
Таким образом, какова бы ни была форма и длина пути и с какой бы
скоростью не двигалось тело, работа силы тяжести, центральной силы, силы
трения будет одинакова т.к. прирост энергии зависит только от начальной и
конечной координат точек.
Градиент потенциальной энергии:
Найдем работу, которую совершает тело, вызывая смещение:
UUgradF
Fk
z
U
j
y
U
i
x
U
FF
z
U
y
U
x
U
FF
z
Udz
y
Udy
x
Udx
dU
z
U
F
y
U
F
x
U
F
dUdzFdyFdxF
zy
zy
zyx
zyx
−∇=−=
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−=++
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−=++
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
−=
∂
∂
−=
∂
∂
−=
−
=
+
+
)(
)(F
)(F
энергии нойпотенциаль алдифференци полный -
,,
x
x
r
r
r
rr
rrr
Сила поля равна градиенту потенциальной энергии частицы в данной точке
поля со знаком минус.
Набла (
∇
) – дифференциальный оператор (векторная величина).
)()(* Ugrad
z
k
y
j
x
iUU =
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇
r
r
r
Операция градиента – есть операция дифференцирования скалярной функции
U по координатам, или умножение вектора набла на скалярную функцию U.
Физический смысл grad скалярной функции:
Рассмотрим две эквипотенциальные
поверхности (поверхности равного
потенциала или одинаковой потенциальной
энергии):
Если приращение энергии больше нуля, то
12
UU > .
Рассмотрим переход от
1
U к
2
U .
Рассматривая возрастание скалярной функции по самому короткому
переходу (по нормали) убедимся, что:
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
             dA = Fупр dx
             Fу = − kx
                             k
             A = −k ∫ xdx = − ( x22 − x12 )
                             2
            Таким образом, какова бы ни была форма и длина пути и с какой бы
            скоростью не двигалось тело, работа силы тяжести, центральной силы, силы
            трения будет одинакова т.к. прирост энергии зависит только от начальной и
            конечной координат точек.

            Градиент потенциальной энергии:
            Найдем работу, которую совершает тело, вызывая смещение:
             Fx dx + Fy dy + Fz dz = − dU
                     ∂U           ∂U            ∂U
             Fx = −      , Fy = −     , Fz = −
                     ∂x           ∂y             ∂z
                    ∂Udx ∂Udy ∂Udz
             dU =          +       +          - полный дифференциал потенциальной энергии
                      ∂x       ∂y        ∂z
                                ∂U ∂U ∂U
             Fx + Fy + Fz = −(      +       +      )
                                ∂x      ∂y      ∂z
             r    r     r       ∂U r ∂U r ∂U r             r
             Fx + Fy + Fz = −(     i+         j+      k) = F
                                ∂x        ∂y       ∂z
              r
             F = − grad (U ) = −∇U
            Сила поля равна градиенту потенциальной энергии частицы в данной точке
            поля со знаком минус.
            Набла ( ∇ ) – дифференциальный оператор (векторная величина).
                      r ∂ r ∂ r ∂
            ∇U = U * (i    + j    + k ) = grad (U )
                        ∂x     ∂y    ∂z
            Операция градиента – есть операция дифференцирования скалярной функции
            U по координатам, или умножение вектора набла на скалярную функцию U.

            Физический смысл grad скалярной функции:

                                         Рассмотрим     две       эквипотенциальные
                                         поверхности      (поверхности      равного
                                         потенциала или одинаковой потенциальной
                                         энергии):
                                         Если приращение энергии больше нуля, то
                                         U 2 > U1 .
                                         Рассмотрим переход от U 1 к U 2 .
            Рассматривая возрастание скалярной функции по самому короткому
            переходу (по нормали) убедимся, что:




                                                                                            36

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Страницы