Механика. Щербаченко Л.А. - 72 стр.

                                     4        3
                                     ρ ⋅ π ⋅ r  ρ ⋅ 4π ⋅ r dr
                                                            2


                            dU = −γ            
                                         3                         16
                                                                = − π 2 ρ 2 γ ⋅ r 4 dr   (12а)
                                                r                   3
                 Интегрируя это выражение по всему объему шара, т. е. от r = 0 до r = R ,
            получим полную гравитационную энергию шара:
                                        R
                       16 2 2                 16
                   U =−   π ρ γ ⋅ ∫ r 4 dr = − γπ 2 ρ 2 R 5                                      (12б)
                        3         0
                                              15
                                                  3M
                   Или с учетом, что ρ =               ,
                                                 4πR 3
                       3 M2
                   U =− γ                                                                         (13)
                       5 R
                 Это есть энергия гравитационного поля, связанная                                    с
            гравитационным притяжением составляющих шар элементов массы.


                                     Гравитационный радиус.
                 Энергия покоя тела массой М равна Мс2. Возникает вопрос: нельзя ли
            себе представить дело так, что эта энергия является энергией
            гравитационного поля, превратившейся в энергию массы покоя при
            стягивании материи, составляющей тело, из рассеянного состояния на
            бесконечности, когда никакого взаимодействия между частицами не было?
                 Чтобы вычислить радиус шара, для которого ответ на поставленный
            вопрос утвердителен, надо гравитационную энергию приравнять энергии
            массы покоя (отбросив числовые коэффициенты):
                       M2
                   γ      ~ Mc 2
                       r
                                                     M
                   Отсюда получаем r ~ γ                . Величина
                                                     c2
                             M
                   rг = γ                                                                         (14)
                             c2
                 называется гравитационным радиусом.
                 В качестве примера вычислим гравитационный радиус Земли, масса ко-
            торой M = 6 ⋅ 10 24 кг :
                   rг = 0,4см
                  Это число означает, что для того, чтобы гравитационная энергия
            массы Земли была равна энергии массы покоя, необходимо было бы всю ее
            массу сжать в шарик диаметром примерно 1 см. Фактически же диаметр
            Земли имеет порядок 109 см. Полученный результат свидетельствует, что в
            общем энергетическом балансе Земли, включающем и ее энергию массы по-
            коя, гравитационная энергия играет пренебрежимо малую роль. Аналогичная
            ситуация существует и для Солнца, у которого гравитационный радиус
            составляет примерно 1 км, а его действительный радиус почти 700 тыс. км.



                                                                                                    72

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com