Механика. Щербаченко Л.А. - 76 стр.

                                                         r      r
              r
                  Поскольку векторы M и r взаимно перпендикулярны, постоянство
             M означает, что при движении частицы ее радиус-вектор все время
                                                                        r
             остается в одной плоскости – плоскости, перпендикулярной к M .
                  Таким образом, траектория движения частицы в центральном
             поле лежит целиком в одной плоскости. Введя в ней полярные
             координаты r и ϕ , напишем энергию в виде
                      E=
                            m 2
                            2
                               (          )
                              x& + y& 2 + U (r )

                      Учитывая, что:
                       x = r cos ϕ  x& = r& cos ϕ − r sin ϕ ⋅ ϕ&
                                   ⇒
                       y = r sin ϕ   y& = r& sin ϕ + r cos ϕ ⋅ ϕ&
                      Получаем выражение для полной энергии:
                      E=
                            m
                            2
                               (                                                        )
                              (r& cos ϕ − r sin ϕ ⋅ ϕ& )2 + (r& sin ϕ + r cos ϕ ⋅ ϕ& )2 + U (r )
         E=
              m 2
              2
                 (                                                                                                                       )
                  r& cos 2 ϕ + r 2 sin 2 ϕ ⋅ ϕ& 2 − 2r& cos ϕ ⋅ r sin ϕ ⋅ ϕ& + r& 2 sin 2 ϕ + r 2 cos 2 ϕ ⋅ ϕ& 2 + 2r& sin ϕ ⋅ r cos ϕ ⋅ ϕ& +

         + U (r ) ⇒


                       E=
                            m 2
                            2
                               (              )
                              r& + r 2ϕ& 2 + U (r )                                                                            (22)
                  Выражение (22) не содержит в явном виде координату ϕ . Вся-
             кую обобщенную координату q i , не входящую явным образом в
             энергию,      называют   циклической.     Для   такой   координаты
             соответствующий ей обобщенный импульс является интегралом
             движения. Это обстоятельство приводит к существенному
             упрощению задачи интегрирования уравнений движения при
             наличии циклических координат. В данном случае обобщенный
             импульс
                  pϕ = mr 2ϕ&                                               (23)
                  совпадает с моментом M z = M , так что мы возвращаемся к
             известному уже нам закону сохранения момента
                                          M = mr 2ϕ&                        (24)
                                         Заметим, что для плоского движения
                                    одной частицы в центральном поле этот закон
                                    допускает        простую     геометрическую
                                                                                                                          1r r
                             Рис. 3                  интерпретацию.                         Выражение                       r ⋅ r dϕ
                                                                                                                          2
             представляет собой площадь сектора, образованного двумя
             бесконечно близкими радиус-векторами и элементом дуги траектории
             (рис. 3). Обозначив ее как df , напишем момент частицы в виде
                   M = 2mf&                                                (25)
                                      &
                   где производную f называют секториальной скоростью. По-
             этому сохранение момента означает постоянство секториальной

                                                                                                                                   76

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com