Механика. Щербаченко Л.А. - 77 стр.

            скорости – за равные промежутки времени радиус-вектор дви-
            жущейся точки описывает равные площади (второй закон
            Кеплера).
                   Закон сохранения момента для частицы, движущейся в центральном
            поле, иногда называют интегралом площадей.
                  Полное решение задачи о движении частицы в центральном поле
            проще всего получить, исходя из законов сохранения энергии и момента, не
            выписывая при этом самих уравнений движения. Выражая ϕ& через М из
            (24) и подставляя в выражение для энергии, получим
                              (              )
                                                                  2
                                                mr& 2 mr 2  M             mr& 2    M2
                        r& + r 2ϕ& 2 + U (r ) =             2  + U (r ) =               + U (r )
                      m 2
                   E=                                +                            +                  (26)
                      2                          2     2  mr               2      2mr 2
                   Отсюда
                                                   2
                   r& =
                          dr
                             =
                               2
                                 (E − U (r )) − M2 2                                                 (27)
                          dt   m               m r
                   или, разделяя переменные и интегрируя
                                        dr
                   t=∫                                + const                                        (28)
                                                 2
                              2
                                (E − U (r )) − M2 2
                              m               m r
                   Далее, написав (24) в виде
                           M
                   dϕ =         dt ,
                           mr 2
                   подставив сюда dt из (27) и интегрируя, находим
                                       M
                                          dr
                   ϕ=∫                 r2             + const                                        (29)
                                              M2
                              2m(E − U (r )) − 2
                                               r
                 Формулы (28) и (29) решают в общем виде поставленную задачу.
            Вторая из них определяет связь между r и ϕ , т.е. уравнение траектории.
            Формула же (28) определяет в неявном виде расстояние r движущейся
            точки от центра как функцию времени. Отметим, что угол ϕ всегда
            меняется со временем монотонным образом – из (24) видно, что ϕ никогда
            не меняет знака.
                 Выражение (26) показывает, что радиальную часть движения можно
            рассматривать как одномерное движение в поле с “эффективной”
            потенциальной энергией
                             M2
                   U эф = U (r ) +                                           (30)
                            2mr 2
                             M2
                   Величину       называют центробежной энергией. Значения r, при
                            2mr 2
            которых
                   U эф = E
                               M2                                                                    (31)
                   U (r ) +         =E
                              2mr 2

                                                                                                       77

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com