Механика. Щербаченко Л.А. - 78 стр.

                   определяют границы области движения по расстоянию от центра.
            При выполнении равенства (31) радиальная скорость r& обращается в нуль.
            Это не означает остановки частицы (как при истинном одномерном
            движении), так как угловая скорость ϕ& не обращается в нуль. Равенство
            r& = 0 означает “точку поворота” траектории, в которой функция r(t)
            переходит от увеличения к уменьшению или наоборот.
                   Если область допустимого изменения r ограничена лишь одним
            условием r ≥ rmin , то движение частицы инфинитно – ее траектория
            приходит из бесконечности и уходит на бесконечность.
                   Если область изменения r имеет две границы rmin и rmax, то
            движение является финитным и траектория целиком лежит внутри
            кольца, ограниченного окружностями r = rmax и r = rmin . Это, однако, не
            означает, что траектория непременно является замкнутой кривой. За время,
            в течение которого r изменяется от rmax до rmin и затем до rmax , радиус-вектор
            повернется на угол ∆ϕ , равный, согласно (29),
                                     M
                        rmax            dr
                                     r2
                   ϕ=    ∫                     M2
                                                    + const                                     (32)
                               2m(E − U (r )) − 2
                        rmin

                                                r
                   Условие замкнутости траектории заключается в том, чтобы этот
                                                                                              m
            угол был равен рациональной части от 2π , т.е. имел вид ∆ϕ = 2π                     , где
                                                                                              n
                                         т, п – целые числа. Тогда через п
                                         повторений этого периода времени радиус-
                                         вектор точки, сделав т полных оборотов,
                                         совпадает   со    своим   первоначальным
                                         значением, т.е. траектория замкнется.
                                         Однако такие случаи исключительны, и при
                                         произвольном виде U(r) угол ∆ϕ не
                                         является рациональной частью от 2π .
                                         Поэтому в общем случае траектория фи-
                                         нитного движения не замкнута. Она
                       Рис. 4
                                         бесчисленное число раз проходит через
                                         минимальное и максимальное расстояние
            (как, например, на рис. 4) и за бесконечное время заполняет все кольцо
            между двумя граничными окружностями.


                 Существуют лишь два типа центральных полей, в которых все
            траектории финитных движений замкнуты. Это поля, в которых
                                                                                1
            потенциальная энергия частицы                     пропорциональна     или r 2 . Первый из
                                                                                r
            этих случаев рассмотрен в следующем параграфе, а второй соответствует
            так называемому пространственному осциллятору. В точке поворота

                                                                                                   78

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com