Расчет стержневых систем на устойчивость методом перемещений. Себешев В.Г. - 45 стр.

    Определяем истинное значение критического параметра
нагрузки Fсr = min ( F cr , Fcr* , j ) = F cr = 0,274 EI – следовательно,
происходит общая потеря устойчивости.
     Для выявления формы потери устойчивости вычисляем соб-
ственный вектор перемещений βZ. Принимаем основное неиз-
вестное Z1 в качестве ведущего, тогда βZ = [Z1/ Z1 Z2/ Z1 Z3/ Z1 ]T =
= [ 1 βZ2 βZ3 ]T . Сформировав матрицу r при ν = νcr , получаем
систему уравнений
                 ⎡ 7,584 4,387 1,124 ⎤ ⎡ 1 ⎤
                 ⎢ 4,387 2,974 1,372 ⎥ ⋅ ⎢ β Z 2 ⎥ = 0.
                 ⎢⎣ 1,124 1,372 1,361 ⎥⎦ ⎢⎣ β Z 3 ⎥⎦
    Представив систему в форме (1.23) и отбросив последнее
уравнение, имеем
             ⎡ 4,387 1,124 ⎤ ⎡ β Z 2 ⎤ ⎡ 7,584 ⎤
              ⎢ 2,974 1,372 ⎥ ⋅ ⎢ β ⎥ + ⎢ 4,387 ⎥ = 0,
              ⎣              ⎦ ⎣ Z3 ⎦ ⎣         ⎦
откуда βZ2 = –2,046, βZ3 = 1,236.
    Отметим, что βZ3 имеет размерность длины (в данном при-
мере измеряется в метрах) потому, что перемещения Z3 и Z1 раз-
нотипные (одно линейное, другое угловое), и коэффициент, свя-
зывающий их по (1.24), не может быть безразмерным.
     Знак « – » у βZ2 указывает на то, что поворот узла D на угол
Z2 происходит против часовой стрелки (т.е. в направлении, про-
тивоположном принятому за положительное при составлении ос-
новной системы).
     С учетом найденных соотношений Z2 = –2,046 Z1 и Z3 =
= 1,236 м . Z1 может быть изображено – с точностью до неопре-
деленного множителя Z1 – деформированное состояние системы
после потери устойчивости при F = Fcr (рис. 3.8).
     Вспомогательное построение, выполненное около узла С,
позволяет графически выразить линейное перемещение Z3 через
угол поворота Z1 с учетом коэффициента βZ3 . При этом отрезок
ab = βZ3 = 1,236 м должен изображаться строго в том же мас-
штабе, что и сама система. Угол Z2 показан на чертеже равным
2,046 Z1 .


                                   44