Сопротивление материалов. Часть 1. Селиванов Ю.Т. - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Аналогично:
yz
I
′′
FbI
y
2
+= . (3.8)
Для случая центробежного момента инерции
()
(
)
∫∫ ∫∫∫∫
=+++=++=
′′
=
′′
FF
F
FF F
zy
yzdFybdFazdFabdFdFzbyadFzyI
∫∫
++=
FF
zdFadFab
yz
FF
IabFyzdFydFb +=+
∫∫
. (3.9)
В формулах (3.7) – (3.9) a и b – координаты новой системы координат, относительно имевшейся.
3.4. ИЗМЕНЕНИЕ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ ПРИ ПОВОРОТЕ ОСЕЙ
Получим зависимости изменения моментов инерции при повороте осей на угол α.
Пример. Пусть дано:
F – площадь; yOz – центральная система координат; α – угол, характеризующий положение,
новой центральной системы координат
y
I
,
z
I ,
yz
I
(рис. 3.8).
Рис. 3.8
Необходимо определить:
z
I
′
,
y
I
′
,
yz
I
′′
.
Опустим перпендикуляры из точки
K на оси z и
z
′
, тогда yKA
=
, yKB
′
=
, zOA
=
, zOB = . Опустим перпендикуляры
из точки
A на ось
z
′
и прямую
K
B .
OAC∆ :
α
=
coszOC ,
α
=
=
sinzBDAC ;
AD∆ :
α
=
cosyKD ,
α
=
=
sinyBCAD .
В соответствии с рис. 3.8:
α
+
α
=
+
=
=
′
sincos yzBCOCOBz ;
α
−
α
=
−
=
=
′
sincos zyBDKDKBy .
По определению
() ( )
=α−α=
′
=
∫∫
′
dFzydFyI
FF
z
22
sincos
(
)
=αα−α+α=
∫
dFyzzy
F
sincos2sincos
2222
α−α+α= 2sinsincos
22
yzyz
III . (3.10)
Аналогично:
α+α+α=
′
2sinsincos
22
yzzyy
IIII . (3.11)
Для случая центробежного момента инерции
α+α
−
=
′′
2cos2sin
2
yz
yz
zy
I
II
I .
Свойства моментов инерции:
1. Из формул (3.7), (3.8) следует, что из всех моментов инерции относительно параллельных осей осевой момент инер-
ции относительно оси, проходящий через центр тяжести сечения, имеет наименьшее значение.
2. Если сложить левые и правые части формул (3.10) и (3.11), то получим
zyzy
IIII +
=
+
′′
, т.е. сумма осевых моментов
инерции, относительно двух взаимно перпендикулярных осей, сохраняет свою величину при повороте осей на любой угол.

Страницы