Сопротивление материалов. Часть 1. Селиванов Ю.Т. - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

3.5. ГЛАВНЫЕ ОСИ И ГЛАВНЫЕ МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ
При расчетах на прочность жесткость и устойчивость требуется знать, при каком значении α момент инерции относи-
тельно взаимно перпендикулярных осей приобретает наибольшее и наименьшее значение. Эти экстремальные значения осе-
вых моментов инерции сечения называется главными моментами инерции.
Оси, относительно которых осевые моменты инерции имеют экстремальные значения, называются главными осями
инерции. Данные оси взаимно перпендикулярны.
Для нахождения главных моментов инерции используется известный из математики прием отыскания экстремума
функции. Возьмем первую производную от выражения, представляющего собой момент инерции относительно оси
y
′
или
z
′
по углу α:
(
)
=α−α+α=
′
2sinsincos
22
yzyz
z
III
dR
d
dR
dI
α
−
α
α
+
α
α
−= 2cos2cossin2sincos2
yz
yz
III
.
Приравняем полученное выражение к нулю и запишем его в виде
02cos22sin)(
00
=α−α−−
yzyz
III
,
где
0
α – угол, на который надо повернуть оси y и z, чтобы они совпали с главными осями. Решая полученное уравнение от-
носительно угла
0
α , получим
yz
yz
II
I
−
−=α
2
2tg
0
. (3.12)
Главные оси обычно обозначают через U и V, и они обладают следующими свойствами: 1) главные оси взаимно пер-
пендикулярны; 2) относительно главных осей центробежный момент инерции равен нулю; 3) относительно них моменты
инерции имеют экстремальные значения. Главные моменты инерции определяется по формулам, соответствующим повороту
центральных осей на угол
0
α :
00
2
0
2
2sinsincos α−α+α=
yzyzv
IIII
;
00
2
0
2
2sinsincos α+α+α=
yzzyu
IIII .
Если для сечения
zy
II >
, то
max
II
u
=
, а
min
II
y
= .
Уравнению (3.12) в каждом конкретном случае удовлетворяет ряд значений
0
α
. Из них выбирается одно любое, если
оно положительно, то для определения по нему положения одной из главных осей, ось
z, следует повернуть на угол
0
α
, про-
тив часовой стрелки, а если отрицательный – по часовой стрелке, другая главная ось инерции перпендикулярна первой.
4. ИЗГИБ
4.1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ
При центральном растяжении-сжатии и кручении прямых брусьев их оси остаются прямыми и после возникновения дефор-
маций. В отличие от этих видов нагружения при изгибе происходит искривление осей прямых брусьев.
I.
Классификация по наличию действующих силовых факторов: а) чистый изгиб, когда в поперечном сечении бруса
действует только изгибающий момент; б) поперечный изгиб, когда наряду с изгибающим моментом действует перерезы-
вающая сила.
II. По направлению воздействия внешних силовых факторов: а) прямой изгиб, когда плоскость действия внешних сил и
моментов совпадает с плоскостью, проходящей через одну из главных центральных осей инерции сечений; б) косой изгиб,
когда плоскость действия внешних сил и моментов не совпадает с плоскостями, проходящими через одну из главных цен-
тральных осей инерции сечения.
Определение: Стержень, преимущественно работающий на изгиб, называется балкой.
Частный вид балки – консоль, когда один ее конец жестко закреплен (рис. 4.1).
Внешние силовые факторы при изгибе:
1. сосредоточенная сила (поперечная, перерезывающая) Р, т; кг; Н;
2.
изгибающий момент М, т⋅м;
3.
распределенная нагрузка q, Н/м.
Правило знаков: поперечная сила Q
y
в произвольном сечении численно равна сумме проекций всех внешних, действую-
щих по одну сторону от проведенного сечения на ось, перпендикулярную оси балки.
Q
y
положительна, если внешние силы
стремятся повернуть рассматриваемую часть относительно центра тяжести проведенного сечения по часовой стрелке (рис. 4.2).

Страницы