Сопротивление материалов. Часть II. Селиванов Ю.Т. - 33 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Для определения критической силы отклоним стержень в положение, пока-
занное пунктиром, и установим, при каком наименьшем значении силы Р стер-
жень может оставаться в этом положении.
Приближенное дифференциальное уравнение упругой линии имеет сле-
дующий вид:
EI
M
x
y
=
∂
∂
2
2
. (4.1)
Формула справедлива, если начало координат расположено у нижнего кон-
ца стержня, а ось
x
направлена вверх. Изгибающий момент в сечении, распо-
ложенном на расстоянии
x
от нижней заделки:
PyM
−
=
.
После подстановки в уравнение (4.1) имеем:
EI
Py
x
y
−
=
∂
∂
2
2
,
или
0
2
2
2
=+
∂
∂
yk
x
y
, (4.2)
где
E
I
P
k =
2
.
Решение дифференциального уравнения (4.2) имеет следующий вид:
kxBkxAy sincos
+
=
. (4.3)
Причем постоянные интегрирования
A
и
B
можно определить из граничных условий.
1.
При 0=x прогиб
0
=
y
:
.0
;01
;0sin0cos0
=
=⋅
+
=
A
A
BA
2. При l=x прогиб
0
=
y
:
0sin
=
lkB
.
Это условие выполняется при 0=B или
0sin
=
lk
. При подстановке 0
=
B и, учитывая, что 0=A , получим
выражение (4.3) в виде
0=y
, что не соответствует условию задачи, так как на схеме
0≠y
.
Таким образом, необходимо принять
0sin
=
lk
или с учетом выражения (4.2):
0sin =
EI
P
l ,
откуда
n
EI
P
π=
l ,
где
n
– может быть равно 0, 1, ... .
В нашем случае
0≠n , так как в противном случае 0
=
P , что не соответствует условию задачи.
Наименьшее значение
кр
PP =
можно получить при 1
=
n , тогда
π=
EI
P
кр
l
,
или
2
2
кр
l
EI
P
π
=
. (4.4)
Выражение (4.4) – формула Эйлера. Она применима только для заданного вида закрепления, для других
случаев закрепления она имеет следующий вид:
Рис. 4.2

Страницы