Идентификация объектов управления. Семенов А.Д - 174 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

где Θ
m
− нормирующий множитель, который будет определен ниже. Исследуем
данную оценку на несмещенность и состоятельность. Математическое
ожидание оценки
{
}
{
}
M
$
(,..., ) M (,..., )
...
...
SI
yx x m
m
yx x
l
m
m
m
ωω ωω
11
1
==
Θ
=−×
=
∏
∑
1
1
1
1
Θ
m
yx x m m m i
i
n
nn n
Rnnwnwnn
m
m
...
, ,...,
( ,..., ) ( ) ( )
[]
×− ++exp ( ... )jn n
mm
ωω
11
. (8.4)
Введем в рассмотрение функцию
~
( ,..., )W
mm
λλ
1
, связанную с
преобразованием W
m
(λ) Фурье временного окна w
m
(n) соотношением
~
( ,..., ) ( ... ) ( ).WW W
mmm mmi
i
m
λλ λ λ λ
11
1
=++
=
∏
(8.5)
Тогда, используя свойства многомерного преобразования Фурье, из
соотношения (8.4) получим:
{}
M
$
(,..., )
~
( ,..., )
...
SW
yx x m
m
mm
m
ωω λλ
π
1
0
2
1
1
=
∫∫
Θ
K ×
×
Sdd
yx x m m m
m
...
(,..., )...
ω
λ
ω
λ
λ
λ
11 1
−
−
⋅
⋅
. (8.6)
Таким образом, математическое ожидание оценки многомерного спектра
равно свертке истинного спектра
S
yx x m
m
...
( ,..., )
ω
ω
1
с функцией вида (8.5).
При
N →∞ функция
~
(,..., )W
mm
λλ
1
концентрируется в окрестности нуля,
приближаясь к дельта-функции. Поэтому для достаточно больших N можно
записать 
где Θm − нормирующий множитель, который будет определен ниже. Исследуем
данную оценку на несмещенность и состоятельность. Математическое
ожидание оценки


                    {
                M S$y mx ... x ( ω 1 , . . . , ω m ) =
                                                        1
                                                       Θm
                                                         }M I           {    l
                                                                             y mx ... x
                                                                                        ( ω1 , . . . , ω m )   }=
                                                                                      n
                    1
                 =
                   Θm
                                   ∑           R y mx ... x (n1 , . . . , n m )w m (n) ∏ w m (n − ni ) ×
                              n, n1 ,..., nm                                        i =1



                                × exp[ − j ( ω1n1 +...+ ω mnm ) ] .                                                 (8.4)


      Введем    в       рассмотрение                  функцию          W~ m ( λ 1 , . . . , λ m ) ,      связанную     с
преобразованием Wm(λ) Фурье временного окна wm(n) соотношением

                                                                                     m
                        W~ m ( λ1 , . . . , λ m ) = W m ( λ 1 + . . . + λ m ) ∏ W m ( λ i ).                        (8.5)
                                                                                    i =1


      Тогда, используя свойства многомерного преобразования Фурье, из
соотношения (8.4) получим:


                        {                                    }
                                                           1                2π
                    M S$ymx ... x ( ω 1 , . . . , ω m ) =              ∫ K0 ∫ W~ m ( λ1 , . . . , λ m ) ×
                                                          Θm

                            × S ymx ... x ( ω1 − λ1 , . . . , ω m − λ m )dλ1 ⋅. . .⋅dλ m .                          (8.6)

      Таким образом, математическое ожидание оценки многомерного спектра
равно свертке истинного спектра S ymx... x ( ω1 , . . . , ω m ) с функцией вида (8.5).

При N → ∞ функция W~ m ( λ 1 , . . . , λ m ) концентрируется в окрестности нуля,
приближаясь к дельта-функции. Поэтому для достаточно больших N можно
записать

Страницы