Введение в теорию уравнений. Элементарные уравнения с одним неизвестным. Семенов А.С. - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

13
Пусть ,0≠a а −b любое действительное число. Предположим, что число
−=
a
b
x
0
решение уравнения (10). Подставляя его в уравнение (10), получаем
,)(,)(
000
bxgb
a
b
axaxf ==⋅=⋅= т.е.
−
=
)()(
00
xgxf верное числовое равенст-
во. Значит, −=
a
b
x
0
решение уравнения (10). Предположим теперь, что имеются
решения, отличные от ,
0
x например, число ,
0
δδ
+=+=
a
b
xc где .0≠
δ
Подстав-
ляя его в уравнение (10), получаем ,)()( bab
a
b
acf ≠⋅+=+⋅=
δδ
так как
,)(,0 bcga =≠⋅
δ
т.е. ).()( c
g
c
f
≠ Таким образом, больше решений уравнения
(10) в рассматриваемом случае не существует.
Пусть теперь 0=a и 0≠b и уравнение (10) принимает вид b
x
=⋅0 . Тогда
,0)(,00)(: ≠==⋅=∈∀ bxgxxfGx следовательно, ),()(
x
g
x
f
≠
т.е. уравнение
(10) решений не имеет.
Наконец, пусть 0=a и 0=b и уравнение (10) принимает вид .00 =⋅
x
Тогда
,0)(,00)(: ==⋅=∈∀ xgxxfGx
т.е.
−
=
)()(
x
g
x
f
верное числовое равенство.
Значит, уравнение (10) имеет множество решений, совпадающее с .
G
Ответ. Если у линейного уравнения (10):
1) ,0≠a а −b любое действительное число, то уравнение имеет единственное
решение и ;
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=
a
b
X
2) 0=a и 0≠b , то =X Ø;
3) 0=a и ,0=b то .
R
X =
7. Решение квадратного уравнения с одним неизвестным
Определение 14.
Элементарное уравнение
,0
2
=++ cbxax (11)
порожденное функциями cbxaxxf ++=
2
)( и ,0)(
=
x
g
где −cba ,, заданные
действительные числа ( параметры уравнения), называется квадратным уравне-
нием с одним неизвестным.
Задача 2. Дано квадратное уравнение (11).Требуется найти множество его решений.
Решение. Очевидно, что ОДЗ уравнения (10) – множество .
R
G
=
Для определения
множества решений уравнения (11) применим метод полной индукции и аналитиче-
ский метод решения уравнения с одним неизвестным, используя в качестве про-
стейшего линейное уравнение.
Пусть ,0=a тогда уравнение (11) равносильно на
G
линейному уравнению
.cbx −= Значит, ,
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
−
=
b
c
X если
−
≠
cb ,0 любое действительное число;
=
X Ø,
если ;0,0 ≠= cb и ,
R
X = если .0
=
=
cb

Страницы