Введение в теорию уравнений. Элементарные уравнения с одним неизвестным. Семенов А.С. - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

11
4. Структура алгоритма аналитического метода решения
уравнения с одним неизвестным
Определение 11.
Уравнение с одним неизвестным назовем простейшим, если известно мно-
жество его решений.
Если уравнение (1) не является простейшим, но порождающие его функции
таковы, что с помощью теорем предыдущего параграфа для этого уравнения на G
или на частях G можно получить либо одно равносильное простейшее уравнение,
либо равносильную совокупность или систему из простейших уравнений, то данное
уравнение будет решено аналитически, так как его множество решений определит-
ся как результат операций над множествами решений простейших уравнений. При-
веденные условия и определяют возможности и структуру алгоритма аналитического
метода решения уравнений с одним неизвестным:
на ОДЗ или на частях ОДЗ данного уравнения искать последователь-
ность равносильных преобразований его к простейшим, возможно, приме-
няя при этом геометрическую интерпретацию корней или поиск корней
способом подстановки.
Для практического использования этого метода необходимо иметь набор
простейших уравнений, обеспечивающий эффективность его алгоритма при реше-
нии уравнений разных видов. Далее будет определен такой набор простейших урав-
нений и проиллюстрированы возможности аналитического метода в классе элемен-
тарных уравнений с одним неизвестным.
5. Элементарные уравнения с одним неизвестным
Определение 12.
Уравнение с одним неизвестным называется элементарным, если порож-
дающие его функции являются элементарными.
Напомним некоторые факты из математического анализа.
1) Функция
−
= )(
x
f
y элементарная, если она задана явно формулой )(
x
A
y = , где
−)(
x
A
аналитическое выражение с одной переменной. Аналитическое выражение с
одной переменной - это символическое обозначение конечного числа известных ма-
тематических операций (сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в
степень, извлечение корня, логарифмирование, прямые и обратные тригонометри-
ческие операции, композиция функций, отыскание абсолютной величины), которые в
определенной последовательности (возможно использование скобок) производятся
над числами и
буквой
x
, обозначающей переменную величину, принимающую зна-
чения из множества действительных чисел.
2) Область определения )(
f
D элементарной функции )(
x
f
часто называют есте-
ственной, так как она определяется условиями существования результатов матема-
тических операций, участвующих в построении аналитического выражения
).(
x
A
3) Любая элементарная функция )(
x
f
непрерывна во всей своей области опреде-
ления. Поэтому область определения элементарной функции разбивается на ин-
тервалы знакоопределенности значений этой функции ее нулями, т.е. решениями
уравнения
.)(0=
x
f
Для определения знака (плюс или минус) значений, принимае-
мых элементарной функцией в интервале знакоопределенности, достаточно опре-

Страницы