Введение в теорию уравнений. Элементарные уравнения с одним неизвестным. Семенов А.С. - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

9
Теорема 7.
Если уравнение (1) порождают функции ))(()(
x
u
v
x
f
=
и ))(()(
x
uw
x
g
= , а
уравнение )()( ywy
v
= имеет множество решений },,...,,{
21 n
yyyY
=
то уравне-
ние (1) равносильно на G совокупности уравнений
}.,...,1{(,)( nkyxu
k
∈
=
Теорема 8.
Если функции, порождающие уравнение (1), таковы, что
а) существует функция ),(y
ϕ
множество значений которой ;)( GD =
ϕ
в) уравнение )()( ywy
v
= , где )),(()()),(()( ygywyfyv
ϕ
ϕ
=
=
имеет множество
решений };,...,,{
21 n
yyyY =
то уравнение (1) равносильно на G совокупности уравнений
}).,...,1{(),( nkyx
k
∈=
ϕ
Теорема 9.
Если функции, порождающие уравнение (1), таковы, что
))(,)(())(,)((:)( bxgbxfилиbxgbxfGHHx ≤≥≥≤⊆∈∀ ,
где −b известная постоянная величина, то уравнение (1) равносильно на
H
системе уравнений
⎩
⎨
⎧
=
=
.)(
,)(
bxg
bxf
Замечание 11. Приведенные теоремы определяют часто используемые преобразо-
вания и свойства порождающих уравнение функций, позволяющие получить равно-
сильные ему уравнение, или систему уравнений, или совокупность уравнений. Неко-
торые из этих преобразований имеют специальные названия. Например, теоремы 7
и 8 обосновывают преобразование заменой неизвестной )(
x
uy
=
или ).(y
x
ϕ
=
В качестве примеров использования теорем 1-9 докажем некоторые теоремы
о равносильности важных частных типов уравнения (1).
Теорема 10.
Если уравнение (1) порождают функции )()( xuxf
=
и )()( xvxg = , то оно
равносильно на G совокупности уравнений
⎢
⎣
⎡
−=
=
).()(
),()(
xvxu
xvxu
Доказательство. Так как из определения абсолютной величины следует, что
,0)(,0)(: ≥≥∈∀ xvxuGx то , действуя на обе части уравнения (1) возрастающей
на );0[ ∞ функцией
,)(
2
yyh =
получаем, на основании теоремы 4, равносильное на
G уравнение ).()(
22
xvxu = Отсюда, используя последовательно следствие к тео-
реме 3, теорему 1 и теорему 5, получаем +⋅−=− )(())()((,0)()(
22
xuxvxuxvxu
+ ;0))( =
x
v
⎢
⎣
⎡
=+
=−
;0)()(
,0)()(
xvxu
xvxu
⎢
⎣
⎡
−=
=
).()(
),()(
xvxu
xvxu
Теорема 10 доказана.
Аналогично теореме 10 доказывается теорема 11.
Теорема 11.
Если уравнение (1) порождают функции
m
xuxf
2
))(()( = и
m
xvxg
2
))(()( = ,
),(
m∈ то оно равносильно на G совокупности уравнений

Страницы