Введение в теорию уравнений. Элементарные уравнения с одним неизвестным. Семенов А.С. - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

8
множества
1
XHXH II , равны; значит, уравнения (1) и (9) равносильны на
H
.
Теорема 2 доказана.
Теорема 3.
Если к обеим частям уравнения (1) прибавить или от обеих частей отнять
одну и ту же функцию, определенную на ,G
H
⊆ то получится уравнение равно-
сильное на
H
уравнению (1).
Следствие 1. Если любое слагаемое одной части уравнения перенести с противо-
положным знаком в другую часть его, то получится уравнение равносильное на G ..
Действительно, предположим, например, что в уравнении (1) левая часть имеет вид
)()()(
x
v
x
u
x
f
+= . Тогда, на основании теоремы 3, уравнение
=
+ )()(
x
v
x
u
= )(
x
g
будет равносильно на G уравнению )()()()()(
x
v
x
g
x
v
x
v
x
u −=
−
+
или
)()()(
x
v
x
g
x
u −= , что и требовалось проверить.
Теорема 4.
Если на обе части уравнения (1) подействовать строго монотонной (воз-
растающей или убывающей ) на множестве
R
U ⊆
функцией )(
x
u такой, что
,))(())((:)( UxguuUxfuGHHx
∈
∈⊆∈∀
то в результате получится уравне-
ние ),()(
11
xgxf = где )),(()()),(()(
11
xguxgxfuxf
=
= равносильное уравнению
(1) на множестве .
H
Доказательство. Если )()(:)( agafXHa
=
∈∀ I то, по определению действи-
тельной числовой функции (однозначной), ))(())(( a
g
ua
f
u
=
или
)()( agaf
11
=
.
Следовательно, a является решением уравнения )()(
11
xgxf
=
и )(
1
XHa I∈ .
Наоборот, пусть :)(
1
XHa I∈∀ )()( agaf
11
=
или ))(())(( a
g
ua
f
u
=
. Тогда, если
)()( a
g
a
f
≠ , то, в силу монотонности функции )(
x
u , ))(())(( a
g
ua
f
u ≠ . Зна-
чит, )()( a
g
a
f
= , т.е. a является решением уравнения (1) и
)( XHa I
∈
. Таким об-
разом, на основании замечания 6, множества ,XH I
1
XH I равны и рассматри-
ваемые уравнения равносильны на
H
. Теорема 3 доказана.
Следствие 2. На основании теоремы 4, следует, что уравнения
);1,0(),(log)(log);1,0(,
)()(
≠>=≠>= aaxgxfaaaa
aa
xgxf
));(())(();(arccos)(arccos);(arcsin)(arcsin xgarctgxfarctgxgxfxgxf =
=
=
});1{\(,)()());(())(( Nmxgxfxgarcctgxfarcctg
mm
∈==
)(),()(
1212
Nmxgxf
mm
∈=
++
равносильны на своих ОДЗ уравнению (1).
Теорема 5.
Если уравнение (1) порождают функции
∏
=
=
n
k
k
xfxf
1
)()( и 0)( =
x
g
, то оно
равносильно на
совокупности уравнений }).,...,1{(,0)( nkxf
k
∈
=
Теорема 6.
Если уравнение (1) порождают функции
∑
=
=
n
k
k
xfxf
1
)()( и 0)( =
x
g
, причем
0)(:},...,1{)( ≥∈∀⊆∈∀ xfnkGHHx
k
, то оно равносильно на
H
системе урав-
нений
}).,...,1{(,0)( nkxf
k
∈=

Страницы