Введение в теорию уравнений. Элементарные уравнения с одним неизвестным. Семенов А.С. - 4 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

6
если
I
n
i
i
XS
1=
= , т.е. любое решение системы (3) является корнем всех уравнений
этой системы, и все общие корни всех уравнений системы являются ее реше-
ниями.
Определение 8.
Уравнение (1) называется равносильным на множестве H уравнению
)()(
11
xgxf
=
, (4)
с множеством решений
1
X , если
HXHX II
1
=
. (5)
Замечание 4. Очевидно, что если уравнение (1) равносильно на множестве H
уравнению (4), то и уравнение (4) равносильно на этом множестве уравнению (1).
Поэтому равносильные или эквивалентные на множестве уравнения часто обозна-
чаются так
)()()()(
11
xgxfxgxf
H
=⇔=
.
Замечание 5.. Если G
H
= и известно множество решений
1
X равносильного
уравнения, то, так как
GX ⊆
, из (5) получаем GXX I
1
=
. Обобщая, имеем, если
U
m
k
k
GG
1=
= , причем =
ji
GG I Ø,
j
i
≠
и },...,1{ m
k
∈
∀
найдено
k
X соответствующе-
го равносильного уравнения, то
U
I
m
k
kk
GXX
1
)(
=
=
.Таким образом, множество реше-
ний уравнения (1) можно найти, зная множество решений уравнений, равносильных
ему на частях G , не имеющих общих точек.
Замечание 6. Для доказательства равносильности двух уравнений на множестве
H надо доказать равенство двух числовых множеств (5), т.е. доказать, что все кор-
ни первого уравнения из
H являются корнями второго и, наоборот, что все корни
второго из H являются корнями первого.
Замечание 7. Для равносильности уравнений справедливо свойство транзитивно-
сти. Это следует из транзитивности отношения равенства множеств: если
1
XX
=
, а
21
XX = , то
2
XX = .
Определение 9.
Уравнение (1) равносильно на
H
совокупности уравнений (2), если
.)( GHTHX III
=
Замечание 8. Если G
H
= и известно множество решений
T
равносильной совокуп-
ности уравнений, то GTX I= .
Определение 10.
Уравнение (1) равносильно на
H
системе уравнений (3), если
GHSHX III )(
=
.
Замечание 9. Если G
H
=
и известно множество решений
S
равносильной системы
уравнений, то
GSX I= .

Страницы