ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
5
Определение 4.
Решением или корнем уравнения (1) называется всякое значение неизвест-
ного a
x
= )( Ga ∈ , для которого верно числовое равенство )()( a
g
a
f
= . Другими
словами, число Ga∈ является решением уравнения (1), если при подстановке его
в уравнение получается верное числовое равенство.
Замечание 2. Из определения 4 следует возможность поиска корней уравнения (1)
способом подбора, или подстановки, или угадывания, когда истинность предположе-
ния о том, что число Gx ∈
0
является решением уравнения (1), следует из справед-
ливости числового равенства
)()(
00
xgxf
=
. Подстановкой можно осуществлять и
проверку корня уравнения, найденного другим способом. Метод подбора не являет-
ся, конечно, универсальным уже потому, что найти только подстановкой все корни
уравнения
21212
22
=+−+++ xxxx
невозможно, так как корнями его являют-
ся все числа из отрезка ]1;1[− . Однако, если после угадывания каких–то корней уда-
ется доказать, что других корней нет, то «решение подбором» становится вполне за-
конным.
Замечание 3. Из определения 4 вытекает геометрическое истолкование корня урав-
нения (1) как абсциссы точки пересечения графиков функций, порождающих это
уравнение. Значит, возможно, чаще всего приближенное, определение значений
корней уравнения (1) геометрическим способом, т.е. путем построения графиков
функций с последующим нахождением абсцисс их общих точек.
Определение 5.
Множество всех корней уравнения (1) называется множеством решений
этого уравнения, а решить уравнение – это, значит, найти такое множество.
Будем обозначать через X множество решений уравнения (1). Очевидно, что
GX ⊆
. Если уравнение не имеет корней, то его множество решений является пус-
тым множеством, т.е. =X Ø. Множество решений уравнения (1) может быть конеч-
ным, счетным и несчетным. В последнем случае можно говорить о том, что равенст-
во (1) является тождеством на множестве X .
Определение 6.
Будем говорить, что уравнения
)()( xgxf
ii
=
с
),...,1(, niXG
ii
=
образуют
совокупность уравнений с множеством решений
T
, что обозначается так
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
=
);()(
...................
),()(
11
xgxf
xgxf
nn
(2)
если
U
n
i
i
XT
1=
= , т.е. любое решение совокупности (2) является корнем хотя бы
одного из уравнений этой совокупности, и все корни каждого из уравнений сово-
купности являются ее решениями .
Определение 7.
Будем говорить, что уравнения )()( xgxf
ii
=
с ),...,1(, niXG
ii
= образуют
систему уравнений с множеством решений
S
, что обозначается так
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
);()(
.................
),()(
11
xgxf
xgxf
nn
(3)
