Введение в теорию уравнений. Элементарные уравнения с одним неизвестным. Семенов А.С. - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

7
3. Основные теоремы о равносильности уравнений
Структура доказательства большинства из приведенных в этом параграфе
теорем основана на замечании 6. Поэтому ниже, в качестве иллюстрирующих при-
меров, будут доказаны только некоторые из них.
Теорема 1.
Любое тождественное преобразование на множестве
G
H
⊆
функции
)(
x
f
или функции )(
x
g
дает уравнение равносильное на G уравнению (1).
Замечание 10. Прежде чем доказывать теорему 1, напомним: 1) две функции )(
x
u и
)(
x
v
называются тождественно равными (тождественными) на множестве
)),(),(( vDHuDHH ⊆⊆ если )()(: xvxuHx
=
∈
∀
(или ));()( xvxu
H
≡ 2) всякое
преобразование функции, приводящее в результате к функции, тождественной пер-
вой на некотором множестве, называется тождественным преобразованием.
Доказательство теоремы 1. Предположим, что после тождественных преобразо-
ваний получены следующие тождества
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≡
≡
),()(
),()(
xgxg
xfxf
H
H
1
1
(6)
и составлено уравнение
).()( xgxf
11
=
(7)
Тогда )()(:)( agafXHa =∈∀ I и, в силу тождеств (6), )()(),()( agagafaf
=
=
11
.
Следовательно,
)()( agaf
11
=
, т.е. a является решением уравнения (7) и
)(
1
XHa I∈ . Наоборот, если )()(:)( agafXHa
111
=
∈
∀ I то, в силу тождеств (6),
)()(),()( agagafaf ==
11
. Следовательно, )()( a
g
a
f
=
, т.е. a является решением
уравнения (1) и
)( XHa I∈
. Таким образом, на основании замечания 6, множества
1
XHXH II , равны; значит, уравнения (1) и (7) равносильны на
H
. Теорема 1
доказана.
Теорема 2.
Если обе части уравнения (1) умножить на одну и ту же функцию, опреде-
ленную и не равную нулю на множестве ,G
H
⊆ то получится уравнение равно-
сильное на
H
уравнению (1).
Доказательство. Пусть функция )(
x
ϕ
такова, что )(
ϕ
D
H
⊆ и
.)(:0
≠
∀
x
H
x
ϕ
(8)
Рассмотрим уравнение
),()( xgxf
11
=
(9)
где
)()()(),()()( xxgxgxxfxf
ϕ
ϕ
⋅
=⋅=
11
. Теперь, если
:)( XHa I
∈
∀
=
)(a
f
)(a
g
то, в силу (8) и (9), )()()()( aa
g
aa
f
ϕ
ϕ
= или )()( agaf
11
=
. Следовательно, a яв-
ляется решением уравнения (7) и )(
1
XHa I
∈
. Наоборот, если :)(
1
XHa I∈∀
)()( agaf
11
=
, т.е. )()()()( aa
g
aa
f
ϕ
ϕ
= , то, умножая обе части последнего числово-
го равенства на конечное число
0
1
≠
)(a
ϕ
, получаем )()( a
g
a
f
=
, т.е. a является
решением уравнения (1) и
)( XHa I∈
. Таким образом, на основании замечания 6

Страницы