Введение в теорию уравнений. Элементарные уравнения с одним неизвестным. Семенов А.С. - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

10
⎢
⎣
⎡
−=
=
).()(
),()(
xvxu
xvxu
Теорема 12.
Если уравнение (1) порождают функции ))(sin()(
x
u
x
f
=
и ))(sin()(
x
v
x
g
= ,
то оно равносильно на G совокупности уравнений
⎢
⎣
⎡
∈+−=
∈
+
=
).(,2)()(
),(,2)()(
Zmmxvxu
Znnxvxu
ππ
π
Доказательство. Используя теоремы 3, 4, 5, определения и свойства операций sin
и cos, последовательно получаем
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⇔
=
−
=
+
⇔=
−+
⇔=−⇔=
GGGG
vu
vu
vuvu
vuxvxu
;0
2
sin
,0
2
cos
0
2
sin
2
cos0)sin()sin())(sin())(sin(
⎢
⎣
⎡
∈+=
∈+−=
⎢
⎣
⎡
⇔
=−
+=+
⇔
).(,2)()(
);(,2)()(
;2
,2
Znnxvxu
Zmmxvxu
nvu
mvu
GG
π
ππ
π
ππ
Теорема 12 доказана
Аналогично теореме 12 доказываются теоремы 13, 14 и 15.
Теорема 13.
Если уравнение (1) порождают функции ))(cos()(
x
u
x
f
=
и ))(cos()(
x
v
x
g
= ,
то оно равносильно на G совокупности уравнений
⎢
⎣
⎡
∈+−=
∈
+
=
).(,)()(
),(,)()(
Zmmxvxu
Znnxvxu
π
π
2
2
Теорема 14.
Если уравнение (1) порождают функции ))(()(
x
ut
g
x
f
=
и ))(()(
x
v
t
g
x
g
= , то
оно равносильно на G совокупности уравнений ).(,)()(
Z
nn
x
v
x
u ∈
+
=
π
Теорема 15.
Если уравнение (1) порождают функции
))(()(
x
uct
x
f
=
и ))(()(
x
v
ct
x
g
= ,
то оно равносильно на G совокупности уравнений ).(,)()(
Z
nn
x
v
x
u ∈+
=
π
Используя теорию систем уравнений с двумя неизвестными, можно доказать
теорему, обобщающую теорему 7.
Теорема 16.
Если уравнение (1) порождают функции
))(),(()(
x
v
x
u
x
f
ϕ
= и
))(),(()(
x
v
x
u
x
g
θ
= , а система уравнений
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
=
),,(),(
),(
),(
zyzy
xvz
xuy
θϕ
на своей ОДЗ равно-
сильна системе
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
=
),,(),(
),,(),(
),(
zyzy
zywzyh
xuy
θϕ
такой, что ее подсистема
⎩
⎨
⎧
=
=
),,(),(
),,(),(
zyzy
zywzyh
θϕ
имеет множество решений )},,(),...,,{(
11 mm
zyzyS = то уравнение (1) равносиль-
но на G совокупности уравнений }).,...,1{(,)( mkyxu
k
∈
=

Страницы