Введение в теорию уравнений. Элементарные уравнения с одним неизвестным. Семенов А.С. - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

15
Замечание 12. Методом математической индукции (начальные шаги которой сдела-
ны при решении задач 1 и 2), можно доказать, что элементарное уравнение вида
),(,0)( NnxP
n
∈= где +=
n
n
xaxP
0
)( −+++
−
−
nn
n
axaxa
1
1
1
... рациональная функ-
ция (многочлен −n ой степени с действительными коэффициентами), имеет множе-
ство решений
,
R
X
=
тогда и только тогда, когда все его коэффициенты равны ну-
лю, т.е. .0...
10
=
=
==
n
aaa Используя этот факт, легко доказать, что два много-
члена одной степени тождественно равны, тогда и только тогда, когда у них равны
все пары коэффициентов при одинаковых степенях переменной.
8. Примеры решений элементарных уравнений с одним
неизвестным аналитическим методом
Пример 1. Решить уравнение .12
22
−=−−+− xxxxx
Решение. ОДЗ: );;1[]0;(}0,{;
2
1321
∞−∞=≥−∈== UII xxRxHHHHG
).;0[}0,{];1;2[}02,{
3
2
2
∞=≥∈=−=≥−−∈= xRxHxxRxH
Так как },1]{0;2[
21
−=HH I то }.1;0{)(
3
21
== HHHG II Таким образом,
ОДЗ данного уравнения – конечное множество из двух чисел. Корни уравнения оп-
ределяем подстановкой. Если 0=
x
, то ,2)0( =f ;1)0(
−
=
g
),0()0(
g
f
≠ значит,
0=
x
не является корнем уравнения. Если ,1
=
x
то ,0)1(,0)1( == gf т.е.
),1()1(
g
f
= значит, 1
=
x
является корнем уравнения.
Ответ. }.1{=X
Пример 2. Решить уравнение
.
6
5
)5)(4(
1
...
)2)(1(
1
)1(
1
=
++
++
++
+
+ xxxxxx
Решение. ОДЗ: }5,4,3,2,1,0,{ −
≠
−
≠
−
≠
−
≠
−
≠
≠∈=
x
x
x
x
x
x
R
x
G или
}.5;4;3;2;1;0{
\
−−−−−=
R
G Тождественно преобразуем левую часть уравнения
∑∑ ∑ ∑
=+ = =
−
+
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++
−
+
=
+++
+−++
=
+++
4
0
4
0
4
0
4
0
1
1
11
)1)((
)()1(
)1)((
1
k
k
k
k
kxkxkxkxkx
kxkx
kxkx
-
∑∑∑
===
+
=
+
−=
+
−
+
=
++
4
0
4
0
5
1
.
)5(
5
5
1111
1
1
kkk
xxxxkxkxkx
Значит, на основании теоре-
мы 1, данное уравнение равносильно на G уравнению
.
6
5
5
5
2
=
+
Теперь, при-
меняя теоремы 2, 3, последовательно получаем уравнения ,65
2
=+ xx
,065
2
=−+ xx равносильные исходному на .G Последнее уравнение -- простей-
шее квадратное с дискриминантом .49
=
D Его корни
⎢
⎣
⎡
∈
∈−
=
±−
=
.1
,6
2
75
2,1
G
G
x
Зна-
чит,
}.1;6{−=X
Ответ. }.1;6{−=X

Страницы