Введение в теорию уравнений. Элементарные уравнения с одним неизвестным. Семенов А.С. - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

16
Пример 3. Решить уравнение .017147
234
=
+
−
+
−
x
x
x
x
Решение. ОДЗ: .
R
G =
Первый вариант решения, Учитывая особенность левой части уравнения, заклю-
чающуюся в равенстве коэффициентов многочлена, равноудаленных от середины,
найдем методом неопределенных коэффициентов тождественное представление ее
на G в следующем виде
).1)(1(17147
22234
++++≡+−+− bxxaxxxxxx
При-
равнивая, на основании замечания 12, коэффициенты многочленов при одинаковых
степенях ,
x
получаем систему равенств ,7,11 ba
+
=
−
=
=
−
+= 7,214 ab
,11, =+= ba которая равносильна системе .12,7
=
−
=
+
abba Подбором уста-
навливаем, что этой системе удовлетворяют числа
,4,3 −=−
=
ba
значит,
).14)(13(17147
22234
+−+−≡+−+− xxxxxxxx Следовательно, на основании
теорем 1 и 5, исходное уравнение равносильно на G совокупности двух простей-
ших квадратных уравнений
⎢
⎣
⎡
=+−
=+−
.014
,013
2
2
xx
xx
Решая их, получаем совокупность
⎢
⎣
⎡
±=
±⋅=
.32
),53(5,0
x
x
Второй вариант решения. Подстановкой устанавливаем, что 0=
x
не является
корнем заданного уравнения. Значим, корни его, если они есть, принадлежат части
ОДЗ }.0{\
1
GG = Будем получать уравнения равносильные на .
1
G Умножаем обе
части уравнения на функцию
2
1
)(
x
x =
ϕ
и, на основании теоремы 2, получаем урав-
нение 0
11
147
2
2
=+−+−
x
x
xx
или .014
1
7
1
2
2
=+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
x
x
x
x Теперь сдела-
ем замену y
x
x =+
1
и, учитывая, что
2
22
1
2
x
xy ++= или ,2
1
2
2
2
−=+ y
x
x для
новой переменной получаем уравнение ,0127
2
=+− yy корнями которого являют-
ся числа
.3,4
21
=
= yy
Следовательно, на основании теоремы 7, заданное урав-
нение равносильно на
1
G совокупности уравнений 3
1
,4
1
=+=+
x
x
x
x или сово-
купности
⎢
⎣
⎡
=+−
=+−
.014
,013
2
2
xx
xx
Решая которую, имеем
⎢
⎣
⎡
∈±=
∈±⋅=
.32
,)53(5,0
1
1
Gx
Gx
Ответ.
)}.53(5,0;32);53(5,0;32{ ++−−=X
Пример 4. Решить уравнение
.032
23
=
−
+
x
x
Решение. ОДЗ: .
R
G =
Первый вариант решения. Подстановкой устанавливаем, что 1=
x
является кор-
нем данного уравнения. Значит, многочлен левой части делится без остатка на раз-
ность ).1( −
x
Используя результат деления многочленов «уголком», получаем тож-
дество ).33)(1(32
223
++−≡−+ xxxxx
R
Следовательно, на основании теорем (1) и

Страницы