Введение в теорию уравнений. Элементарные уравнения с одним неизвестным. Семенов А.С. - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

17
(5), имеем следующую равносильную на G совокупность простейших уравнений
⎢
⎣
⎡
=++
=−
.033
,01
2
xx
x
Решая ее, получаем }.1{
=
X
Второй вариант решения. Тождественно преобразуя левую часть уравнения, по-
следовательно получаем
GGG
xxxxxxxx ≡−+−≡−+−≡−+ )1(3)1(3332
2222323
).33)(1())1(3)(1(
22
++−≡++−≡ xxxxxx
GG
Значит, по теореме 1, данное уравнение
равносильно на G уравнению .0)33)(1(
2
=++− xxx Так как +=∈∀
2
)(: xxRx
ϕ
,075,0)5,1(33
2
≠++=++ xx
то, умножая обе части уравнения на
,
)(
1
x
ϕ
получа-
ем (теорема 2) равносильное на G уравнение 01
=
−
x
или .1=
x
Т.е. }.1{
=
X
Ответ. }.1{=X
Пример 5. Решить уравнение .)2(7454134
2
6
22
−−=+−++− xxxxx
Решение. ОДЗ: .}054,0134,{
22
RxxxxRxG =≥+−≥+−∈=
Тождественно преобразуя левую часть уравнения, получаем
,)2(741)2(9)2(
2
6
22
−−=+−++− xxx или, если обозначить tx =−
2
)2( --
.7419
6
ttt −=+++
Так как 11,39:),0[
6
≥+≥+∞∈∀ ttt и, следовательно,
,419
6
≥+++ tt а ,474 ≤−
t
то, на основании теоремы 9, получаем равносиль-
ную систему из уравнений ,474,419
6
=−=+++ ttt решение которой -- .0
=
t
Следовательно, исходное уравнение по теореме 7 равносильно на ОДЗ уравнению
0)2(
2
=−x или .2=
x
Ответ, }.2{=X
Пример 6. Решить уравнение .21814
343
xxxxxx +−=−−−+
Решение. ОДЗ: ,
4321
HHHHG III=
где
},0,{
1
≥∈= xRxH },01,{
3
2
≥−∈= xRxH },0,{
4
3
≥−∈= xxRxH
}.0814,{
43
4
≥−−−+∈= xxxxRxH Возведя обе части уравнения в квадрат,
на основании теоремы 4, получаем равносильное на G уравнение
xxxxxxxx 441814
4343
+−+−=−−−+ . Далее, применяя последовательно
теоремы 3, 1, 4 и 5, получаем ,0)1)(1(,0,0
244
=++−=−=− xxxxxxxx
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=++
=−
=
.01
,01
,0
2
xx
x
x
Последняя совокупность уравнений имеет множество решений
}.1;0{=
T
Так как ,0
2
H
∉
то
.0 G
∉
Число 1
=
x
является элементом всех мно-
жеств
),4,...,1( =kH
k
значит, .1 G∈ Таким образом, }.1{=
=
TGX I
Ответ. }.1{=X

Страницы