Введение в теорию уравнений. Элементарные уравнения с одним неизвестным. Семенов А.С. - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

18
Пример 7. Решить уравнение 0)392(3)3)12(2)(12(
22
=++⋅+++++ xxxx .
Решение. ОДЗ: .
R
G = Анализируя особенности левой части уравнения, устанавли-
ваем, что если ввести в рассмотрение функцию
),32()(
2
++⋅= yyy
ϕ
то уравне-
ние запишется в следующем виде ).3()12(
x
x
−
=
+
ϕ
ϕ
Исследуя функцию )(y
ϕ
на
монотонность, последовательно находим
3
32)(,)(
2
2
2
+
+++=
′
=
y
y
yyRD
ϕϕ
,
,0)(:,)( >
′
∈∀=
′
yRyRD
ϕ
ϕ
т.е. эта функция возрастает на всей своей области
определения. Следовательно, на основании теоремы 4, исходное уравнение равно-
сильно на G линейному уравнению
x
x
312
−
=
+
или .15
−
=
x
Значит }.51{
−
=X
Ответ.
}.51{−=X
Пример 8. Решить уравнение
.341
32
xxx −=−
Решение. ОДЗ:
].1;1[}01,{
2
−=≥−∈= xRxG
Первый вариант решения. Используя замену ,cos
t
x
=
для новой неизвестной
t
получаем уравнение ,cos3cos4sin
3
ttt −= причем решения его будем искать
только на множестве ],;0[
π
=
ибо функция
t
cos
однозначно отображает
на
].1;1[− Так как
,3coscos3cos4,0sin:
3
ttttHt =−≥∈∀
то вспомогательное урав-
нение равносильно на
уравнению
t
t
3cossin
=
или
)
2
cos(3cos tt −=
π
. Послед-
нее уравнение, на основании теоремы 13, равносильно на
совокупности уравне-
ний
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
++−=
+−=
,2
2
3
,2
2
3
π
π
π
π
ltt
ktt
или
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+−=
+=
,
4
,
28
π
π
ππ
lt
k
t
где
k
и
−
l
целые числа. Пересе-
кая с
множество решений полученной совокупности, получаем множество
}.
4
3
;
8
5
;
8
{
π
π
π
Значит, на основании теоремы 8, исходное уравнение равносильно на
G
совокупности уравнений
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
=
=
,
4
3
cos
,
8
5
cos
,
8
cos
π
π
π
x
x
x
или
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⋅−=
−⋅−=
+⋅=
.25,0
,225,0
,225,0
x
x
x
Второй вариант решения. Представим ОДЗ в виде объединения двух непересе-
кающихся множеств ,
21
GGG U= где U)
2
3
;1[}034,{
3
1
−−=<−∈= xxGxG
).
2
3
;0(U Так как
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
<−
≥−
∈∀
,034
,01
:
23
2
1
xx
x
Gx
то ,341:
232
1
xxxGx −≠−∈∀ т.е. на
множестве
1
G корней уравнения нет и
=
1
X Ø. Ищем корни на
=
=
12
\ GGG

Страницы