Введение в теорию уравнений. Элементарные уравнения с одним неизвестным. Семенов А.С. - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

20
).3)(3()3)(3()3(9392
2222323
++−=+−+−=−+−=−− yyyyyyyyyyyy
Так как,
+∈∀
2
; yRy
,03 ≠+y то рассматриваемое уравнение равносильно, на ос-
новании теорем 1 и 2, уравнению 03
=
−
y или .3
=
y Следовательно, на основании
теоремы 16, исходное уравнение имеет единственный корень .5)31(5,0
2
=+=x
Ответ. }.5{=X
Пример 10. Решить уравнение .92214
222
++=+++++ xxxxxx
Решение. ОДЗ: .
R
G = Введем вспомогательную переменную по формуле
).0(1
2
≥++= yxxy Тогда 72922,34
22
+=+++=++ yxxyxx и исходное
уравнение примет вид .723 +=++ yyy Возводя обе части последнего урав-
нения в квадрат, получаем, на основании теоремы 4, равносильное на );0( ∞ урав-
нение
72323
2
+=++++ yyyyy
или (следствие к теореме 3)
.23
2
=+ yy
Еще раз возводя в квадрат, имеем
043
2
=−+ yy или
⎢
⎣
⎡
∞∉−=
∞∈
=
).;0(4
),;0(1
y
y
Значит, на
основании теоремы 7, исходное уравнение равносильно на G уравнению
11
2
=++
x
x
или .0)1( =+⋅
x
x
Отсюда }.0;1{
−
=
X
Ответ. }.0;1{−=X
Пример 11. Решить уравнение .0102)5,0(21032
22
=−+⋅+−−+ xxxxx
Решение. ОДЗ: ).;111[]111;(}0102,{
2
∞+−−−−∞=≥−+∈= UxxRxG
Тождественно преобразуя левую часть уравнения, получаем (теорема 1) равно-
сильное на ОДЗ уравнение
(
)
025,01025,0
2
2
=−−+−+ xxx или (следствие к
теореме 3) уравнение
(
)
.)5,0(1025,0
2
2
2
=−+−+ xxx Теперь, на основании тео-
ремы 11, имеем равносильную совокупность двух уравнений
⎢
⎢
⎣
⎡
−=−+−+
=−+−+
,5,01025,0
,5,01025,0
2
2
xxx
xxx
или
⎢
⎢
⎣
⎡
+=−+
=−+
.1102
,102
2
2
xxx
xxx
Решаем первое уравнение совокупности. Разбиваем ОДЗ на две непересекающиеся
части ).;111[],111;(
21
∞−=−−−∞= GG На множестве
1
G решений нет, так
как .102:
2
1
xxxGx ≠−+∈∀ На ,
2
G возводя обе части в квадрат, получаем
(теорема 4), равносильное уравнение 102
=
x
или
.5
2
Gx
∈
=
Значит,
}.5{
1
=
X
Решаем второе уравнение совокупности. Разбиваем ОДЗ на два подмножества
.\,}01,{
21211
GDGDGGxRxD
=
=
=<+∈= I На множестве
1
G решений нет,
так как .1102:
2
1
+≠−+∈∀ xxxGx На ,
2
G возводя обе части в квадрат, полу-
чаем (теорема 4), равносильное уравнение
12102
22
+
+
=
−
+
x
x
x
x
или .110
=
−
Значит,
=
2
X Ø. Таким образом, }.5{
21
=
=
XXX U
Ответ. }.5{=X

Страницы