Введение в теорию уравнений. Элементарные уравнения с одним неизвестным. Семенов А.С. - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

21
Пример 12. Решить уравнение .35
2
xxx −=+
Решение. ОДЗ: .
R
G
= На основании теоремы 10, получаем равносильную на
G
совокупность двух квадратных уравнений
⎢
⎣
⎡
+−=+
−=+
,35
,35
2
2
xxx
xxx
или
⎢
⎣
⎡
=+−
=−+
,052
,054
2
2
xx
xx
с множеством решений }.1;5{−=
T
Значит, }.1;5{−== GTX I
Ответ. }.1;5{−=X
Пример 13. Решить уравнение .8123
=
−
+
+
xx
Решение. ОДЗ: .
R
G
= Разобьем ОДЗ на три непересекающиеся части
),3;(
1
−−∞=G
),5,0;3[
2
−G
);5,0[
3
∞
=G
и будем искать на них подмножества реше-
ний данного уравнения. На
,
1
G используя определение абсолютной величины дей-
ствительного числа, получаем равносильное уравнение
8323
=
+−−
−
x
x
или
.103 −=
x
Значит, }.
3
10
{}
3
10
{
11
−=−= GX I Аналогично, на
2
G имеем
8123 =+−+
x
x
, или ,4−=
x
т.е.
=
−
=
22
}4{ GX I
Ø, а на :
3
G 8123
=
−
++
x
x
,
или ,2
3
Gx ∈= т.е. }.2{
3
=X Таким образом, }.2;310{
321
−=
=
XXXX UU
Ответ.
}.2;310{−=X
Пример 13. Решить уравнение .3
2
xxx =−+
Решение. ОДЗ: .
R
G
= Разобьем ОДЗ на две непересекающиеся части )0;(
1
−
∞=G
и
).;0[
2
∞=G
Так как ,3:
2
1
xxxGx ≠−+∈∀ то (способ подстановки)
=
1
X
Ø. На
,
2
G на основании теоремы 10, получаем равносильную совокупность
⎢
⎣
⎡
−=−+
=−+
,3
,3
2
2
xxx
xxx
или
⎢
⎣
⎡
=−+
=−
,032
,03
2
2
xx
x
множество решений которой
}.3;1;3;3{ −−=T
Значит,
}.3;1{
22
== GTX I
Таким образом, }.3;1{
221
=== XXXX U
Ответ.
, }.3;1{=X
Пример 14. Решить уравнение
.02543
=
−
+
xx
Решение. ОДЗ: .
R
G
= Подстановкой устанавливаем, что число 2=
x
является кор-
нем данного уравнения, так как .2543
22
=
+
Докажем, что этот корень единствен-
ный. Исследуем на монотонность функцию .2543)( −+=
xx
xf Находим производ-
ную этой функции:
.4ln43ln3
xx
f +=
′
Ясно, что
0)(: >
′
∈
∀
xfRx
, поэтому функ-
ция возрастает на всей числовой прямой. Значит, во всех точках, где
2>
x
имеем
,0)2()( =>
x
а во всех точках, где 2
<
x
имеем .0)2()( =
<
x
Следовательно,
точка
−= 2
x
единственный ноль функции или корень данного уравнения.
Ответ. }.2{=X
Пример 15. Решить уравнение .75
234
22
−−++
=
xxxx

Страницы